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Nombres complexes : argument et forme trigonométrique

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  1. 1

    Écris sous forme trigonométrique le nombre z=−1+iz = -1 + i.

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    Module : r=(−1)2+12=2r = \sqrt{(-1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}.
    cos⁡θ=−12=−22\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡θ=12=22\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
    Cosinus négatif et sinus positif : le point est en haut à gauche, et θ=π−π4=3π4\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
    Résultat : z=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right).

  2. 2

    Écris sous forme trigonométrique le nombre z=−3−iz = -\sqrt{3} - i, avec son argument principal.

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    Module : r=3+1=2r = \sqrt{3 + 1} = 2.
    cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡θ=−12\sin\theta = -\frac{1}{2}.
    Les deux sont négatifs : le point est en bas à gauche. La valeur de référence est π6\frac{\pi}{6}, donc θ=−(π−π6)=−5π6\theta = -\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{5\pi}{6}.
    Résultat : z=2(cos⁡(−5π6)+isin⁡(−5π6))z = 2\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right).

  3. 3

    Écris sous forme trigonométrique le nombre z=23+2iz = 2\sqrt{3} + 2i.

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  4. 4

    Écris sous forme trigonométrique le nombre z=3−3i3z = 3 - 3i\sqrt{3}, avec son argument principal.

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  5. 5

    Écris sous forme algébrique le nombre z=4(cos⁡(−3π4)+isin⁡(−3π4))z = 4\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right).

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  6. 6

    Soit z=5(cos⁡π3+isin⁡π3)z = 5\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right). Donne la forme trigonométrique de z‾\overline{z} puis celle de −z-z, avec leurs arguments principaux.

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  7. 7

    Un nombre complexe z a pour module 4 et pour argument 17π6\frac{17\pi}{6}. Donne son argument principal, puis écris z sous forme algébrique.

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  8. 8

    Soit z=1+2iz = 1 + 2i. Calcule ∣z∣|z|, puis donne une valeur approchée au millième, en radians, d'un argument de z.

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  9. 9

    Décris l'ensemble des points M d'affixe z tels que ∣z+3i∣=2|z + 3i| = 2.

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  10. 10

    Décris l'ensemble des points M d'affixe z non nulle tels que arg⁡(z)=−π2\arg(z) = -\frac{\pi}{2} à 2π2\pi près. Les points d'affixes −4i-4i et 4i4i en font-ils partie ?

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