Primitives et méthode d'Euler

Soit $f(x) = 4x^{3} - 2x$ sur ℝ.
a) Donne toutes les primitives de f.
b) Détermine la primitive de f dont la courbe passe par le point $A(1 \,;\, 5)$.

Soit $f(x) = (x + 2)(x - 1)$ sur ℝ.
a) Développe $f(x)$.
b) Détermine la primitive F de f telle que $F(0) = 0$.

Une fonction F, définie sur ℝ, vérifie $F'(x) = 2x$ pour tout x, et $F(3) = 4$.
a) Exprime $F(x)$.
b) Calcule $F(-1)$.

On considère $f(t) = 2\cos(2t)$ sur ℝ.
a) Vérifie que $F(t) = \sin(2t) + 3$ est une primitive de f.
b) Détermine la primitive G de f telle que $G\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.

Un objet part du repos ($v(0) = 0$) depuis la position $x(0) = 1$ m, avec l'accélération $a(t) = 6t$, en m/s², t en secondes.
a) Détermine sa vitesse $v(t)$.
b) Détermine sa position $x(t)$, puis calcule sa position à l'instant $t = 2$ s.

Un objet se déplace sur un axe avec la vitesse $v(t) = 3\sin(2t)$, en m/s, et $x(0) = 0$.
a) Détermine sa position $x(t)$.
b) Quelle est la plus grande valeur prise par $x(t)$ ?

On pose $u(t) = 4\sin(\pi t)$.
a) Détermine la primitive U de u telle que $U(0) = 0$.
b) Calcule $U(1)$, valeur exacte puis arrondie au millième.

Soit $f(t) = 2t + \cos(t)$ sur ℝ.
a) Détermine la primitive F de f telle que $F(0) = 1$.
b) Calcule $F(\pi)$, valeur exacte puis arrondie au centième.

On considère le problème $y'(t) = \frac{1}{1 + t^{2}}$ et $y(0) = 0$, que l'on approche par la méthode d'Euler avec un pas $h = 0{,}25$.
a) Calcule la valeur approchée de $y(0{,}25)$.
b) Calcule la valeur approchée de $y(0{,}5)$, arrondie au millième.

On considère le problème $y'(t) = \frac{1}{t}$ et $y(2) = 0$, approché par la méthode d'Euler avec un pas $h = 0{,}5$.
a) Calcule les valeurs approchées de $y(2{,}5)$ et de $y(3)$.
b) Calcule la valeur approchée de $y(3{,}5)$, arrondie au millième.