Primitives et méthode d'Euler

On considère $f(x) = 3x^{2} - 2x$ sur ℝ.
a) Donne toutes les primitives de f.
b) Détermine la primitive de f dont la courbe passe par le point $A(1 \,;\, 2)$.
c) Quel écart vertical sépare, en tout point, la courbe de la primitive passant par $A(1 \,;\, 2)$ de la courbe de la primitive passant par $B(2 \,;\, 0)$ ?

On considère $f(t) = 6t^{2} - 4\cos(2t)$ sur ℝ.
a) Donne toutes les primitives de f.
b) Détermine la primitive F de f telle que $F(0) = 3$.
c) Calcule $F\left(\frac{\pi}{4}\right)$, où F est la primitive de f qui vaut 3 en 0, en donnant la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

On considère $f(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)$ sur ℝ.
a) Écris $f(x)$ sous forme développée.
b) Détermine la primitive F de f telle que $F(0) = 1$.
c) Calcule $F(2)$, où F est la primitive de f qui vaut 1 en 0.

Un objet est lâché sans vitesse initiale d'une hauteur de 45 m. Son accélération vaut $a(t) = -10$, en m/s², sa vitesse vérifie $v(0) = 0$ et son altitude, en mètres, vérifie $z(0) = 45$, pour t en secondes.
a) Détermine sa vitesse $v(t)$.
b) Détermine son altitude $z(t)$.
c) À quel instant l'objet touche-t-il le sol, et quelle est alors sa vitesse ?

Une voiture roule à 20 m/s. À l'instant $t = 0$, elle freine avec une accélération constante de $-4$ m/s², jusqu'à l'arrêt. On repère sa position x, en mètres, sur la route, avec $x(0) = 0$.
a) Détermine sa vitesse $v(t)$ pendant le freinage.
b) Détermine sa position $x(t)$.
c) Quelle distance la voiture parcourt-elle entre le début du freinage et l'arrêt ?

Un objet accroché à un ressort oscille avec la vitesse $v(t) = -0{,}8\sin(4t)$, en m/s, et sa position vérifie $x(0) = 0{,}2$ m, pour t en secondes.
a) Détermine sa position $x(t)$.
b) Donne l'amplitude et la période du mouvement.
c) Quelle est la position de l'objet à l'instant $t = 1$ s, arrondie au millimètre ?

Un condensateur de capacité $C = 10^{-4}$ F, déchargé à l'instant $t = 0$, est traversé par le courant $i(t) = 0{,}01\sin(50t)$, en ampères, pour t en secondes. Sa charge $q(t)$, en coulombs, est la primitive de i telle que $q(0) = 0$.
a) Détermine $q(t)$.
b) Quelle est la valeur maximale de la charge ?
c) Quelle est la valeur maximale de la tension $u(t) = \frac{q(t)}{C}$ aux bornes du condensateur ?

On considère le problème $y'(t) = 2t$ et $y(0) = 0$, dont on connaît la solution exacte.
a) Détermine la solution exacte $y(t)$.
b) Avec la méthode d'Euler et un pas $h = 0{,}5$, calcule une valeur approchée de $y(1)$ et l'erreur commise.
c) Quelle erreur commet-on sur $y(1)$ avec la méthode d'Euler et un pas $h = 0{,}25$ ?

On considère le problème $y'(t) = \frac{1}{1 + t^{2}}$ et $y(0) = 1$, approché par la méthode d'Euler avec un pas $h = 0{,}2$.
a) Écris la relation qui donne $y_{n+1}$ en fonction de $y_{n}$ et de $t_{n}$.
b) Calcule les valeurs approchées de $y(0{,}2)$ et de $y(0{,}4)$.
c) Donne la valeur approchée de $y(0{,}6)$ obtenue par la méthode d'Euler avec le pas $h = 0{,}2$, arrondie au millième.

On approche la solution du problème $y'(t) = \frac{1}{t}$, $y(1) = 0$, avec le programme Python suivant :
def euler(t, y, h, n):
    for k in range(n):
        y = y + h * (1 / t)
        t = t + h
    return y
L'appel euler(1, 0, 0.1, 10) renvoie environ 0,7188, et la valeur exacte de $y(2)$ est environ 0,6931.
a) Quelle est la valeur de t à la fin de cet appel ?
b) Calcule à la main les valeurs de y obtenues après un pas puis après deux pas, arrondies au millième.
c) Quelle erreur la méthode d'Euler commet-elle sur $y(2)$ avec un pas de 0,1 ? Donne-la arrondie au millième.