Produit scalaire

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(3 \,;\, -2)$ et $\vec{v}(4 \,;\, 6)$.
a) Montre que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
b) Calcule $\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert^{2}$ de deux façons : avec les coordonnées de $\vec{u} + \vec{v}$, puis avec $\Vert \vec{u} \Vert^{2}$ et $\Vert \vec{v} \Vert^{2}$.

Dans un repère orthonormé, on donne $A(2 \,;\, 1)$, $B(6 \,;\, 4)$ et $C(-1 \,;\, 5)$.
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$. Que peux-tu en déduire pour le triangle ABC ?
b) Calcule les longueurs AB, AC et BC, puis précise la nature exacte du triangle ABC.

Un vecteur $\vec{u}$ de norme 12 fait un angle de $\frac{5\pi}{6}$ avec un vecteur non nul $\vec{v}$.
a) Calcule la valeur exacte de la projection de $\vec{u}$ sur l'axe dirigé par $\vec{v}$.
b) On sait de plus que $\Vert \vec{v} \Vert = 3$. Calcule la valeur exacte de $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Dans un triangle ABC, $AB = 7$, $AC = 5$ et $\widehat{BAC} = 120^{\circ}$.
a) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
b) Calcule la longueur BC, en valeur exacte puis arrondie au centième.

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(1 \,;\, -3)$ et $\vec{v}(2 \,;\, 4)$.
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$, $\Vert \vec{u} \Vert$ et $\Vert \vec{v} \Vert$.
b) Détermine la mesure en degrés de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

On sait que $\Vert \vec{u} \Vert = 2$, $\Vert \vec{v} \Vert = 5$ et que l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $\frac{\pi}{3}$.
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
b) Calcule $\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert$, en valeur exacte puis arrondie au centième.

Une caisse est tirée sur 5 m en ligne droite par une force de 200 N inclinée de $45^{\circ}$ par rapport au déplacement. Elle subit aussi une force de frottement de 90 N, opposée au déplacement.
a) Calcule le travail de la force de traction, en valeur exacte puis arrondi au joule.
b) Calcule le travail de la force de frottement, puis le travail total de ces deux forces, arrondi au joule.

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(m \,;\, m + 1)$ et $\vec{v}(3 \,;\, -1)$, où m est un réel.
a) Détermine m pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient orthogonaux.
b) Pour cette valeur de m, calcule la valeur exacte de $\Vert \vec{u} \Vert$.

ABCD est un parallélogramme tel que $AB = 6$, $AD = 4$ et $AC = 8$.
a) Calcule la longueur BD, en valeur exacte puis arrondie au centième.
b) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.

Dans un triangle ABC, $AB = 6$, $BC = 4$ et $CA = 5$.
a) Calcule la valeur exacte de $\cos\widehat{ACB}$.
b) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$, arrondie au dixième de degré.