Produit scalaire

Dans un repère orthonormé, calcule le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(3 \,;\, -1)$ et $\vec{v}(2 \,;\, 5)$.

Dans un repère orthonormé, calcule la norme du vecteur $\vec{u}(-7 \,;\, 24)$.

Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vec{u}(6 \,;\, -4)$ et $\vec{v}(2 \,;\, 3)$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(3 \,;\, 4)$ et $\vec{v}(-2 \,;\, 1)$. Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ? L'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est-il aigu ou obtus ? Justifie.

Un vecteur $\vec{u}$ de norme 8 fait un angle de $\frac{\pi}{3}$ avec un axe orienté. Calcule la projection de $\vec{u}$ sur cet axe.

Un vecteur $\vec{u}$ de norme 5 fait un angle de $\frac{3\pi}{4}$ avec un axe orienté. Calcule la projection de $\vec{u}$ sur cet axe, en valeur exacte puis arrondie au centième, et explique son signe.

On sait que $\Vert \vec{u} \Vert = 2$, $\Vert \vec{v} \Vert = 7$ et que l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $\frac{\pi}{4}$. Calcule la valeur exacte de $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

On sait que $\Vert \vec{u} \Vert = 6$. Calcule $\vec{u} \cdot \vec{u}$, puis $\vec{u} \cdot (-2\vec{u})$.

Un chariot est poussé sur 12 m en ligne droite par une force constante de 30 N, de même direction et de même sens que le déplacement. Calcule le travail de cette force, en joules.

Dans un triangle ABC, $AB = 4$, $AC = 6$ et $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$. Calcule la longueur BC, en valeur exacte puis arrondie au centième.