Produit scalaire

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1
Dans un repère orthonormé, calcule le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(3 \,;\, -1)$ et $\vec{v}(2 \,;\, 5)$ .
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Dans une base orthonormée, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ .
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 + (-1) \times 5 = 6 - 5$ .
Résultat : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$ .
2
Dans un repère orthonormé, calcule la norme du vecteur $\vec{u}(-7 \,;\, 24)$ .
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La norme se calcule avec $\Vert \vec{u} \Vert = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
$\Vert \vec{u} \Vert = \sqrt{(-7)^{2} + 24^{2}} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625}$ .
Résultat : $\Vert \vec{u} \Vert = 25$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Dans un repère orthonormé, les vecteurs $\vec{u}(6 \,;\, -4)$ et $\vec{v}(2 \,;\, 3)$ sont-ils orthogonaux ? Justifie.
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4
Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(3 \,;\, 4)$ et $\vec{v}(-2 \,;\, 1)$ . Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ? L'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est-il aigu ou obtus ? Justifie.
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5
Un vecteur $\vec{u}$ de norme 8 fait un angle de $\frac{\pi}{3}$ avec un axe orienté. Calcule la projection de $\vec{u}$ sur cet axe.
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6
Un vecteur $\vec{u}$ de norme 5 fait un angle de $\frac{3\pi}{4}$ avec un axe orienté. Calcule la projection de $\vec{u}$ sur cet axe, en valeur exacte puis arrondie au centième, et explique son signe.
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7
On sait que $\Vert \vec{u} \Vert = 2$ , $\Vert \vec{v} \Vert = 7$ et que l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ mesure $\frac{\pi}{4}$ . Calcule la valeur exacte de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
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8
On sait que $\Vert \vec{u} \Vert = 6$ . Calcule $\vec{u} \cdot \vec{u}$ , puis $\vec{u} \cdot (-2\vec{u})$ .
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9
Un chariot est poussé sur 12 m en ligne droite par une force constante de 30 N, de même direction et de même sens que le déplacement. Calcule le travail de cette force, en joules.
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10
Dans un triangle ABC, $AB = 4$ , $AC = 6$ et $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$ . Calcule la longueur BC, en valeur exacte puis arrondie au centième.
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