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1
Dans un repère orthonormé d'unité 1 m, un objet se déplace en ligne droite de A à B, avec $\overrightarrow{AB}(5 \,;\, 0)$ , sous l'action d'une force constante $\vec{F}(30 \,;\, 40)$ , exprimée en newtons.
Calcule la mesure de l'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$ , arrondie au dixième de degré.
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a) $\Vert \vec{F} \Vert = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = \sqrt{2500} = 50$ N.
b) $W = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = 30 \times 5 + 40 \times 0 = 150$ J.
c) $\vec{F} \cdot \overrightarrow{AC} = 30 \times 3 + 40 \times (-4) = 90 - 160 = -70$ J : le travail est négatif, donc résistant.
d) $\vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = \Vert \vec{F} \Vert \times AB \times \cos\theta$ , donc $\cos\theta = \frac{150}{50 \times 5} = 0{,}6$ .
L'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$ mesure environ $53{,}1^{\circ}$ .
2
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1 \,;\, 2)$ , $B(3 \,;\, 0)$ et $C(1 \,;\, 5)$ .
Calcule la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ du triangle ABC, arrondie au dixième de degré.
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a) $\overrightarrow{AB}(4 \,;\, -2)$ et $\overrightarrow{AC}(2 \,;\, 3)$ .
b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 2 + (-2) \times 3 = 8 - 6 = 2$ .
c) $AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ et $AC = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ .
d) $\cos\widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC} = \frac{2}{\sqrt{20} \times \sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{260}} \approx 0{,}124$ .
L'angle $\widehat{BAC}$ mesure environ $82{,}9^{\circ}$ .
3
On sait que $\Vert \vec{u} \Vert = 2$ , $\Vert \vec{v} \Vert = 3$ et $\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert = \sqrt{7}$ .
Calcule $\Vert 2\vec{u} - \vec{v} \Vert$ , en valeur exacte puis arrondie au centième.
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4
ABCD est un rectangle tel que $AB = 6$ et $AD = 4$ ; E est le milieu du segment [BC].
Calcule la mesure de l'angle $\widehat{AED}$ du triangle AED, arrondie au dixième de degré.
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5
Dans un repère orthonormé, on considère, pour tout réel x, les vecteurs $\vec{u}(x \,;\, 2)$ et $\vec{v}(x - 3 \,;\, x)$ .
Pour $x = 2$ , calcule la mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , arrondie au dixième de degré.
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6
ABCD est un losange de côté 5 dont la diagonale [AC] mesure 8.
Calcule la mesure de l'angle $\widehat{BAD}$ du losange, arrondie au dixième de degré.
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7
Deux bateaux A et B quittent un port P, chacun en ligne droite. À un instant donné, $PA = 12$ km, $PB = 9$ km et l'angle $\widehat{APB}$ mesure $50^{\circ}$ .
Calcule la mesure de l'angle $\widehat{PAB}$ du triangle PAB, arrondie au degré.
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8
Un bras de robot est formé de deux segments articulés : l'épaule E, le coude C et la main M, avec $EC = 30$ cm et $CM = 20$ cm.
Quelle mesure faut-il donner à l'angle $\widehat{ECM}$ pour que la main soit à 40 cm de l'épaule ? Arrondis au dixième de degré.
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9
Un traîneau de poids 600 N glisse en ligne droite sur 50 m le long d'une pente inclinée de $20^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. Il subit son poids (vertical, vers le bas), la réaction du sol (perpendiculaire à la pente) et une force de frottement de 80 N opposée au déplacement.
Calcule le travail total des forces qui s'exercent sur le traîneau, arrondi au joule.
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10
Dans un triangle ABC, $AB = 7$ , $AC = 5$ et $BC = 6$ . On note I le milieu du segment [BC].
Calcule la longueur AI de la médiane issue de A, arrondie au centième.
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