Produit scalaire

Dans un repère orthonormé d'unité 1 m, un objet se déplace en ligne droite de A à B, avec $\overrightarrow{AB}(5 \,;\, 0)$, sous l'action d'une force constante $\vec{F}(30 \,;\, 40)$, exprimée en newtons.
a) Calcule l'intensité de la force $\vec{F}$.
b) Calcule le travail de $\vec{F}$ lors du déplacement de A à B.
c) Lors d'un autre déplacement $\overrightarrow{AC}(3 \,;\, -4)$, le travail de $\vec{F}$ est-il moteur ou résistant ?
d) Calcule la mesure de l'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$, arrondie au dixième de degré.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1 \,;\, 2)$, $B(3 \,;\, 0)$ et $C(1 \,;\, 5)$.
a) Donne les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
b) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
c) Calcule les longueurs AB et AC.
d) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ du triangle ABC, arrondie au dixième de degré.

On sait que $\Vert \vec{u} \Vert = 2$, $\Vert \vec{v} \Vert = 3$ et $\Vert \vec{u} + \vec{v} \Vert = \sqrt{7}$.
a) Calcule $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
b) Détermine la mesure en degrés de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
c) Calcule $\Vert 2\vec{u} - \vec{v} \Vert$, en valeur exacte puis arrondie au centième.

ABCD est un rectangle tel que $AB = 6$ et $AD = 4$ ; E est le milieu du segment [BC].
a) Sans coordonnées, en projetant sur la droite (AB), calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$.
b) De même, en projetant sur la droite (AD), calcule $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AE}$.
c) Vérifie ces deux résultats dans le repère orthonormé où $A(0 \,;\, 0)$, $B(6 \,;\, 0)$ et $D(0 \,;\, 4)$.
d) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{AED}$ du triangle AED, arrondie au dixième de degré.

Dans un repère orthonormé, on considère, pour tout réel x, les vecteurs $\vec{u}(x \,;\, 2)$ et $\vec{v}(x - 3 \,;\, x)$.
a) Exprime $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en fonction de x.
b) Détermine les valeurs de x pour lesquelles $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
c) Pour $x = 2$, calcule la mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$, arrondie au dixième de degré.

ABCD est un losange de côté 5 dont la diagonale [AC] mesure 8.
a) Calcule la longueur de la diagonale [BD].
b) Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.
c) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{BAD}$ du losange, arrondie au dixième de degré.

Deux bateaux A et B quittent un port P, chacun en ligne droite. À un instant donné, $PA = 12$ km, $PB = 9$ km et l'angle $\widehat{APB}$ mesure $50^{\circ}$.
a) Calcule $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$, arrondi à l'unité.
b) Calcule la distance AB entre les deux bateaux, arrondie au centième de kilomètre.
c) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{PAB}$ du triangle PAB, arrondie au degré.

Un bras de robot est formé de deux segments articulés : l'épaule E, le coude C et la main M, avec $EC = 30$ cm et $CM = 20$ cm.
a) Lorsque l'angle $\widehat{ECM}$ mesure $120^{\circ}$, calcule la distance EM, arrondie au dixième de centimètre.
b) On veut que la main soit à 40 cm de l'épaule. Calcule la valeur exacte de $\cos\widehat{ECM}$ dans ce cas.
c) Quelle mesure faut-il donner à l'angle $\widehat{ECM}$ pour que la main soit à 40 cm de l'épaule ? Arrondis au dixième de degré.

Un traîneau de poids 600 N glisse en ligne droite sur 50 m le long d'une pente inclinée de $20^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. Il subit son poids (vertical, vers le bas), la réaction du sol (perpendiculaire à la pente) et une force de frottement de 80 N opposée au déplacement.
a) Détermine la mesure de l'angle entre le poids et le déplacement.
b) Calcule le travail du poids, arrondi au joule.
c) Quels sont les travaux de la réaction du sol et de la force de frottement ?
d) Calcule le travail total des forces qui s'exercent sur le traîneau, arrondi au joule.

Dans un triangle ABC, $AB = 7$, $AC = 5$ et $BC = 6$. On note I le milieu du segment [BC].
a) Exprime $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$.
b) Démontre que $AB^{2} + AC^{2} = 2AI^{2} + 2IB^{2}$.
c) Calcule la longueur AI de la médiane issue de A, arrondie au centième.