Trigonométrie et signaux sinusoïdaux

On considère l'angle de $225^{\circ}$.
a) Convertis-le en radians et donne sa mesure principale.
b) Calcule le cosinus et le sinus de cet angle.

On sait que $\sin x = -\frac{8}{17}$ et que $x \in \left]-\frac{\pi}{2} \,;\, 0\right[$.
a) Calcule $\cos x$.
b) Calcule $\sin(\pi + x)$ et $\cos(\pi - x)$.

On considère l'équation $2\sin x + \sqrt{3} = 0$.
a) Résous-la sur l'intervalle $]-\pi \,;\, \pi]$.
b) Combien a-t-elle de solutions dans l'intervalle $[0 \,;\, 6\pi]$ ?

Un signal s'écrit $s(t) = 4\cos\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{3}\right)$, t en secondes.
a) Donne son amplitude, sa période, sa fréquence et sa phase à l'origine.
b) Calcule les valeurs exactes de $s(0)$ et de $s(1)$.

Aux États-Unis, la tension du réseau a une fréquence de 60 Hz et une amplitude de 170 V. À l'instant $t = 0$, elle est à son maximum.
a) Calcule sa pulsation, puis sa période en millisecondes, arrondie au dixième.
b) Écris cette tension sous la forme $u(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$.

On étudie la fonction sinus sur l'intervalle $[-\pi \,;\, \pi]$.
a) Dresse son tableau de variations.
b) Donne son maximum et son minimum sur cet intervalle, et les réels où ils sont atteints.

a) Montre que, pour tout réel x, $\cos(2\pi - x) = \cos x$.
b) Justifie que la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = \pi$.

On remarque que $\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
a) À l'aide des formules des angles associés à $\frac{\pi}{2} + x$, calcule $\cos\frac{2\pi}{3}$ et $\sin\frac{2\pi}{3}$.
b) Vérifie que les valeurs trouvées satisfont la relation $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$.

Sans calculatrice, en utilisant $\pi \approx 3{,}14$ :
a) range dans l'ordre croissant $\cos(0{,}4)$, $\cos(1{,}2)$ et $\cos(2{,}9)$ ;
b) range dans l'ordre croissant $\sin(0{,}4)$, $\sin(1{,}2)$ et $\sin(2{,}9)$.

On considère l'angle orienté de mesure $\frac{2026\pi}{3}$.
a) Détermine sa mesure principale.
b) Calcule son cosinus et son sinus.