Trigonométrie et signaux sinusoïdaux

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1
On considère les réels $a = \frac{17\pi}{6}$ , $b = -\frac{19\pi}{4}$ et $c = \frac{101\pi}{3}$ .
Lequel des trois points associés sur le cercle trigonométrique a une abscisse positive et une ordonnée négative ?
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a) $a$ : $\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6}$ , qui est dans $]-\pi \,;\, \pi]$ .
$b$ : $-\frac{19\pi}{4} + 4\pi = -\frac{3\pi}{4}$ .
$c$ : $101 = 3 \times 33 + 2$ , donc $\frac{101\pi}{3} = 33\pi + \frac{2\pi}{3} = 32\pi + \frac{5\pi}{3}$ ; puis $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$ .
Mesures principales : $\frac{5\pi}{6}$ , $-\frac{3\pi}{4}$ et $-\frac{\pi}{3}$ .
b) $\cos a = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin a = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ .
$\cos b = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin b = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\cos c = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et $\sin c = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
c) Seul le point associé à c a un cosinus positif et un sinus négatif : c'est lui, en bas à droite du cercle.
2
Pour tout réel x, on pose $F(x) = \sin(-x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2\sin(\pi + x)$ .
Résous l'équation $F(x) = 1$ sur l'intervalle $]-\pi \,;\, \pi]$ .
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a) $\sin(-x) = -\sin x$ ; $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ ; $2\sin(\pi + x) = -2\sin x$ .
b) $F(x) = -\sin x + \sin x - 2\sin x = -2\sin x$ .
c) $F(x) = 1$ équivaut à $-2\sin x = 1$ , soit $\sin x = -\frac{1}{2}$ .
Par imparité, $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ : une solution est $-\frac{\pi}{6}$ .
L'autre est associée à $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ , de mesure principale $-\frac{5\pi}{6}$ .
Solutions : $x = -\frac{\pi}{6}$ ou $x = -\frac{5\pi}{6}$ .
3
Soit x un réel de $\left]\frac{\pi}{2} \,;\, \pi\right[$ tel que $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ .
Donne une valeur approchée du réel x, en radians, arrondie au centième.
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4
On considère l'équation $4\cos^{2} x = 1$ .
Combien l'équation $4\cos^{2} x = 1$ a-t-elle de solutions dans l'intervalle $[0 \,;\, 10\pi]$ ?
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5
Un pendule oscille ; l'angle qu'il fait avec la verticale, en radians, est $\theta(t) = 0{,}2\cos(\pi t)$ , t en secondes.
Détermine les instants de l'intervalle $[0 \,;\, 2[$ où $\theta(t) = 0{,}1$ .
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6
Une tension s'écrit $u(t) = 8\sin(50\pi t)$ , en volts, t en secondes.
Détermine les instants de l'intervalle $[0 \,;\, 0{,}04[$ où la tension vaut $4\sqrt{2}$ V.
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7
Une grande roue de rayon 20 m tourne à vitesse constante et fait un tour complet en 8 minutes. La hauteur d'une nacelle au-dessus du sol est $h(t) = 22 - 20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)$ , en mètres, t en minutes.
Calcule la hauteur de la nacelle aux instants $t = 4$ min et $t = \frac{16}{3}$ min.
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8
Sur l'écran d'un oscilloscope, une tension sinusoïdale a une amplitude de 6 V et une période de 10 ms. Elle est nulle à l'instant $t = 0$ et devient négative juste après. On la modélise par $u(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ , avec $\varphi \in \,]-\pi \,;\, \pi]$ .
Calcule la tension à l'instant $t = 1$ ms, arrondie au dixième de volt.
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9
On veut ranger dans l'ordre croissant les nombres $\cos 7$ , $\cos(-2)$ et $\cos 4$ , sans calculer leurs valeurs, en utilisant $\pi \approx 3{,}14$ .
Range $\cos 7$ , $\cos(-2)$ et $\cos 4$ dans l'ordre croissant.
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10
Dans un port, la hauteur d'eau est modélisée par $h(t) = 5 + 3\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ , en mètres, t en heures, $t = 0$ correspondant à une marée haute.
Un bateau a besoin d'au moins 6,5 m d'eau pour entrer dans le port. Pendant combien d'heures au total, entre $t = 0$ et $t = 12$ , peut-il entrer ?
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