Trigonométrie et signaux sinusoïdaux

On considère les réels $a = \frac{17\pi}{6}$, $b = -\frac{19\pi}{4}$ et $c = \frac{101\pi}{3}$.
a) Détermine la mesure principale de chacun.
b) Calcule le cosinus et le sinus de chacun.
c) Lequel des trois points associés sur le cercle trigonométrique a une abscisse positive et une ordonnée négative ?

Pour tout réel x, on pose $F(x) = \sin(-x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2\sin(\pi + x)$.
a) Exprime chacun des trois termes en fonction de $\sin x$.
b) Donne une expression simplifiée de $F(x)$.
c) Résous l'équation $F(x) = 1$ sur l'intervalle $]-\pi \,;\, \pi]$.

Soit x un réel de $\left]\frac{\pi}{2} \,;\, \pi\right[$ tel que $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.
a) Calcule la valeur exacte de $\sin x$.
b) Calcule $\cos(-x)$, $\sin(\pi + x)$ et $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.
c) Donne une valeur approchée du réel x, en radians, arrondie au centième.

On considère l'équation $4\cos^{2} x = 1$.
a) Montre qu'elle équivaut à $\cos x = \frac{1}{2}$ ou $\cos x = -\frac{1}{2}$.
b) Résous-la sur l'intervalle $]-\pi \,;\, \pi]$.
c) Combien l'équation $4\cos^{2} x = 1$ a-t-elle de solutions dans l'intervalle $[0 \,;\, 10\pi]$ ?

Un pendule oscille ; l'angle qu'il fait avec la verticale, en radians, est $\theta(t) = 0{,}2\cos(\pi t)$, t en secondes.
a) Donne l'amplitude des oscillations, en radians puis en degrés arrondis au dixième.
b) Calcule la période et la fréquence du mouvement.
c) Détermine les instants de l'intervalle $[0 \,;\, 2[$ où $\theta(t) = 0{,}1$.

Une tension s'écrit $u(t) = 8\sin(50\pi t)$, en volts, t en secondes.
a) Calcule sa période et sa fréquence.
b) Quand t parcourt $[0 \,;\, 0{,}04[$, dans quel intervalle varie $X = 50\pi t$ ?
c) Détermine les instants de l'intervalle $[0 \,;\, 0{,}04[$ où la tension vaut $4\sqrt{2}$ V.

Une grande roue de rayon 20 m tourne à vitesse constante et fait un tour complet en 8 minutes. La hauteur d'une nacelle au-dessus du sol est $h(t) = 22 - 20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)$, en mètres, t en minutes.
a) Quel angle, en radians, la roue décrit-elle en une minute ?
b) Calcule la longueur de l'arc de cercle parcouru par la nacelle en 3 minutes, arrondie au dixième de mètre.
c) Donne la période de h, ainsi que la hauteur maximale et la hauteur minimale de la nacelle.
d) Calcule la hauteur de la nacelle aux instants $t = 4$ min et $t = \frac{16}{3}$ min.

Sur l'écran d'un oscilloscope, une tension sinusoïdale a une amplitude de 6 V et une période de 10 ms. Elle est nulle à l'instant $t = 0$ et devient négative juste après. On la modélise par $u(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, avec $\varphi \in \,]-\pi \,;\, \pi]$.
a) Détermine A et ω.
b) Quelles valeurs de φ donnent $u(0) = 0$ ?
c) Choisis la bonne valeur de φ, en justifiant.
d) Calcule la tension à l'instant $t = 1$ ms, arrondie au dixième de volt.

On veut ranger dans l'ordre croissant les nombres $\cos 7$, $\cos(-2)$ et $\cos 4$, sans calculer leurs valeurs, en utilisant $\pi \approx 3{,}14$.
a) Justifie que $\cos 7 = \cos(7 - 2\pi)$ et situe $7 - 2\pi$.
b) Justifie que $\cos(-2) = \cos 2$ et que $\cos 4 = \cos(2\pi - 4)$.
c) Range $\cos 7$, $\cos(-2)$ et $\cos 4$ dans l'ordre croissant.

Dans un port, la hauteur d'eau est modélisée par $h(t) = 5 + 3\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, en mètres, t en heures, $t = 0$ correspondant à une marée haute.
a) Détermine la hauteur d'eau maximale, la hauteur minimale et la période de h.
b) Détermine les instants de l'intervalle $[0 \,;\, 12]$ où la hauteur d'eau vaut 6,5 m.
c) Un bateau a besoin d'au moins 6,5 m d'eau pour entrer dans le port. Pendant combien d'heures au total, entre $t = 0$ et $t = 12$, peut-il entrer ?