Épreuves répétées et schéma de Bernoulli

Dans un stand de fête foraine, un joueur lance trois fléchettes. À chaque lancer, il touche la cible avec une probabilité de 0,3, indépendamment des autres lancers.
a) Justifie que la situation est un schéma de Bernoulli et précise le succès et sa probabilité.
b) Combien de chemins l'arbre comporte-t-il ?
c) Calcule la probabilité que le joueur touche la cible exactement une fois.
d) Quelle est la probabilité que le joueur touche la cible au moins deux fois ?

Une pièce défectueuse passe successivement par deux contrôles indépendants. Le premier contrôle détecte le défaut avec une probabilité de 0,9, le second avec une probabilité de 0,8.
a) Construis l'arbre des deux contrôles et indique les probabilités des quatre chemins.
b) Calcule la probabilité que le défaut soit détecté par les deux contrôles.
c) Calcule la probabilité que le défaut échappe aux deux contrôles.
d) Quelle est la probabilité qu'une pièce défectueuse soit détectée par au moins un des deux contrôles ?

Une équipe dispute quatre matchs. Elle gagne chaque match avec une probabilité de 0,55, indépendamment des autres matchs, et ne fait jamais match nul. Arrondis les résultats au millième.
a) Combien de chemins l'arbre comporte-t-il ?
b) Calcule la probabilité que l'équipe gagne les quatre matchs.
c) Calcule la probabilité que l'équipe gagne exactement trois matchs.
d) Quelle est la probabilité que l'équipe gagne au moins trois matchs sur les quatre ?

Un système d'alarme utilise trois capteurs indépendants. Lors d'une intrusion, chaque capteur la détecte avec une probabilité de 0,85. L'alarme se déclenche dès qu'au moins deux capteurs détectent l'intrusion. Arrondis les résultats au millième.
a) Calcule la probabilité que les trois capteurs détectent l'intrusion.
b) Calcule la probabilité qu'exactement deux capteurs la détectent.
c) Quelle est la probabilité que l'alarme se déclenche lors d'une intrusion ?

On répète trois fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p. On sait que la probabilité de n'obtenir aucun succès vaut 0,216.
a) Écris l'égalité vérifiée par $1 - p$.
b) Détermine p.
c) Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux succès en trois épreuves ?

Pour obtenir un certificat, un candidat passe trois épreuves. Il réussit chaque épreuve avec une probabilité de 0,75, indépendamment des autres, et il obtient le certificat s'il réussit au moins deux épreuves. Arrondis les résultats au millième.
a) Combien de chemins l'arbre comporte-t-il ?
b) Calcule la probabilité que le candidat réussisse exactement deux épreuves.
c) Calcule la probabilité qu'il réussisse les trois épreuves.
d) Quelle est la probabilité que le candidat obtienne le certificat ?

On propose deux jeux. Jeu A : on lance deux fois un dé équilibré, et l'on gagne si l'on obtient au moins une fois un 5 ou un 6. Jeu B : on lance quatre fois un dé équilibré, et l'on gagne si l'on obtient au moins une fois un 6. Arrondis les résultats au millième.
a) Calcule la probabilité de gagner au jeu A.
b) Calcule la probabilité de gagner au jeu B.
c) Lequel des deux jeux offre la meilleure probabilité de gagner ?

Un client reçoit un lot de pièces dont $7\,\%$ sont défectueuses. Il prélève quelques pièces, de façon indépendante, et refuse le lot dès qu'au moins une pièce prélevée est défectueuse. Il peut prélever 2, 3 ou 4 pièces. Arrondis les résultats au millième.
a) Calcule la probabilité de refuser le lot s'il prélève 2 pièces.
b) Calcule cette probabilité s'il prélève 3 pièces, puis 4 pièces.
c) Combien de pièces le client doit-il prélever au minimum pour que la probabilité de refuser le lot dépasse 0,2 ?

Une production compte 20 000 pièces, dont 800 sont défectueuses. On prélève deux pièces au hasard. Donne les résultats sous forme décimale, arrondis au dix-millième.
a) On suppose le tirage avec remise : calcule la probabilité que les deux pièces soient défectueuses.
b) En réalité, le tirage se fait sans remise : calcule la probabilité que les deux pièces soient défectueuses.
c) Pourquoi peut-on, en pratique, modéliser ce prélèvement sans remise par deux épreuves indépendantes ?

Une pièce truquée tombe sur pile avec une probabilité de 0,6. On la lance trois fois et l'on compte le nombre de piles obtenus.
a) Calcule la probabilité d'obtenir 0 pile, puis 3 piles.
b) Calcule la probabilité d'obtenir exactement 1 pile, puis exactement 2 piles.
c) Vérifie que la somme des quatre probabilités vaut 1.
d) Quel nombre de piles est le plus probable en trois lancers de cette pièce ?