La fonction dérivée et les variations

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = 2x^{3} - 9x^{2} + 12x - 4$.
a) Calcule $f'(x)$ et vérifie que $f'(x) = 6(x - 1)(x - 2)$.
b) Dresse le tableau de variations de f et donne ses extremums locaux.

Une entreprise fabrique et vend x objets par jour, avec x entre 0 et 80. Son bénéfice quotidien, en euros, est $B(x) = -2x^{2} + 160x - 1800$.
a) Calcule $B'(x)$ et étudie les variations de B sur $[0 \,;\, 80]$.
b) Combien d'objets faut-il vendre pour que le bénéfice soit maximal ? Que vaut ce bénéfice maximal ?

Soit f la fonction définie sur $[-2 \,;\, 4]$ par $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1$.
a) Calcule $f'(x)$ et vérifie que $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$.
b) Détermine le maximum et le minimum de f sur $[-2 \,;\, 4]$.

Un jardinier dispose de 40 m de grillage pour clôturer un potager rectangulaire adossé à un mur : le mur forme un côté, le grillage couvre les trois autres. On note x la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.
a) Montre que l'aire du potager est $A(x) = 40x - 2x^{2}$ pour x dans $]0 \,;\, 20[$.
b) Détermine les dimensions du potager qui rendent son aire maximale, et calcule cette aire.

Soit b un nombre réel et f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^{2} + bx + 3$. On sait que f admet un minimum en $x = 2$.
a) Exprime $f'(x)$ en fonction de b, puis détermine la valeur de b.
b) Calcule la valeur du minimum de f.

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = -x^{3} + 6x^{2} - 9x + 4$.
a) Calcule $f'(x)$ et vérifie que $f'(x) = -3(x - 1)(x - 3)$.
b) Dresse le tableau de variations de f et donne ses extremums locaux.

La température d'une serre, en degrés Celsius, est modélisée par $T(t) = t^{3} - 9t^{2} + 24t + 10$, où t est le temps en heures écoulé depuis 8 h, avec t dans $[0 \,;\, 6]$.
a) Calcule $T'(t)$ et vérifie que $T'(t) = 3(t - 2)(t - 4)$.
b) Détermine la température maximale et la température minimale dans la serre entre 8 h et 14 h.

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = 4x^{3} - 3x$.
a) Calcule $f'(x)$ et vérifie que $f'(x) = 3(2x - 1)(2x + 1)$.
b) Détermine les extremums locaux de f et les valeurs de x où ils sont atteints.

On pose $C(q) = q^{3} - 6q^{2} + 15q$ pour q positif, et on note g la fonction définie par $g(q) = C'(q)$.
a) Calcule $g(q)$.
b) Étudie les variations de g sur $[0 \,;\, +\infty[$ et donne la valeur minimale de g.

Un atelier produit x centaines de pièces par semaine, avec x dans $[0 \,;\, 6]$. Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 15x$.
a) Calcule $B'(x)$ et vérifie que $B'(x) = -3(x - 1)(x - 5)$.
b) Quelle production donne le bénéfice maximal sur $[0 \,;\, 6]$ ? Que vaut ce bénéfice ?