La fonction dérivée et les variations

Dans une plaque de carton rectangulaire de 16 cm sur 10 cm, on découpe un carré de côté x cm à chaque coin, puis on relève les bords pour obtenir une boîte sans couvercle. Son volume, en cm³, est noté $V(x)$, pour x dans $]0 \,;\, 5[$.
a) Montre que $V(x) = 4x^{3} - 52x^{2} + 160x$.
b) Calcule $V'(x)$ et vérifie que $V'(x) = 4(x - 2)(3x - 20)$.
c) Étudie le signe de $V'(x)$ sur $]0 \,;\, 5[$.
d) Quelle valeur de x rend le volume de la boîte maximal, et que vaut ce volume maximal ?

Une usine produit et vend x tonnes d'un produit par mois, avec x dans $[0 \,;\, 12]$. Le coût de production, en milliers d'euros, est $C(x) = x^{3} - 15x^{2} + 80x + 100$, et chaque tonne est vendue 53 milliers d'euros. On note $B(x)$ le bénéfice mensuel, en milliers d'euros.
a) Exprime $B(x)$ en fonction de x.
b) Calcule $B'(x)$ et vérifie que $B'(x) = -3(x - 1)(x - 9)$.
c) Dresse le tableau de variations de B sur $[0 \,;\, 12]$.
d) Quelle quantité l'usine doit-elle produire pour obtenir un bénéfice maximal, et quel est ce bénéfice ?

Soit b et c deux nombres réels, et f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} + bx^{2} + c$. On sait que la courbe de f admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2, et que $f(2) = -1$.
a) Exprime $f'(x)$ en fonction de b.
b) Détermine b, puis c.
c) Détermine les extremums locaux de f, en précisant leur nature.

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$, et d la droite d'équation $y = 9x + 1$.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Explique pourquoi la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est parallèle à d si et seulement si $f'(a) = 9$.
c) Vérifie que $3x^{2} - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$.
d) Quels sont les points de la courbe de f où la tangente est parallèle à la droite d ? Donne leurs coordonnées.

Après l'injection d'un médicament, sa concentration dans le sang, en mg/L, est modélisée par $C(t) = -t^{3} + 6t^{2}$, où t est le temps en heures, avec t dans $[0 \,;\, 6]$.
a) Calcule $C'(t)$ et étudie les variations de C sur $[0 \,;\, 6]$.
b) Détermine la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte.
c) On note g la fonction définie sur $[0 \,;\, 6]$ par $g(t) = C'(t)$. Étudie les variations de g.
d) À quel instant la concentration augmente-t-elle le plus vite ?

Un cylindre a un rayon r et une hauteur h, en centimètres, liés par la contrainte $r + h = 6$, avec r dans $]0 \,;\, 6[$. On rappelle que le volume d'un cylindre est $\pi r^{2} h$. Donne les résultats approchés arrondis à l'unité.
a) Montre que le volume du cylindre s'écrit $V(r) = \pi(6r^{2} - r^{3})$.
b) Calcule $V'(r)$ et vérifie que $V'(r) = 3\pi r(4 - r)$.
c) Étudie les variations de V sur $]0 \,;\, 6[$.
d) Quelles dimensions rendent le volume du cylindre maximal ? Donne ce volume maximal en cm³.

Soit f la fonction définie sur $[-2 \,;\, 3]$ par $f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 4$.
a) Calcule $f'(x)$ et vérifie que $f'(x) = 6(x + 1)(x - 2)$.
b) Dresse le tableau de variations de f sur $[-2 \,;\, 3]$.
c) Calcule $f(-2)$, $f(-1)$, $f(2)$ et $f(3)$.
d) Montre que, pour tout x de $[-2 \,;\, 3]$, on a $-16 \le f(x) \le 11$.

Soit m un nombre réel et f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 3x + m$.
a) Calcule $f'(x)$ et factorise-la.
b) Dresse le tableau de variations de f.
c) Exprime le maximum local et le minimum local de f en fonction de m.
d) Pour quelles valeurs de m le minimum local de f est-il strictement positif ?

On considère les fonctions f et g définies sur $[0 \,;\, 2]$ par $f(x) = x^{2} + 2x$ et $g(x) = x^{3} - x^{2} + 2x$. On étudie l'écart $d(x) = f(x) - g(x)$ entre ces deux fonctions. Donne les résultats approchés arrondis au centième.
a) Montre que $d(x) = x^{2}(2 - x)$ et déduis-en que $f(x) \ge g(x)$ sur $[0 \,;\, 2]$.
b) Calcule $d'(x)$ et factorise-la.
c) Étudie les variations de d sur $[0 \,;\, 2]$.
d) Pour quelle valeur de x l'écart $f(x) - g(x)$ est-il maximal sur $[0 \,;\, 2]$ ? Donne la valeur de cet écart maximal.

Une entreprise vend x milliers d'unités d'un produit, avec x dans $[0 \,;\, 5]$. Le prix de vente unitaire, en euros, est $p(x) = 12 - x$, et le coût de production, en milliers d'euros, est $C(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3x + 5$. La recette $R(x)$ et le bénéfice $B(x)$ sont exprimés en milliers d'euros.
a) Exprime la recette $R(x)$ en fonction de x.
b) Montre que $B(x) = -x^{3} + 3x^{2} + 9x - 5$.
c) Calcule $B'(x)$, factorise-la et étudie les variations de B sur $[0 \,;\, 5]$.
d) Quelle quantité l'entreprise doit-elle vendre pour que son bénéfice soit maximal, à quel prix unitaire, et quel est alors le bénéfice ?