Les fonctions de la variable réelle

🟠 Difficile

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1
Un rectangle a un périmètre de 20 cm ; on note x sa largeur, en cm.
a) Exprime son aire $A(x)$ en fonction de x et donne l'intervalle où x a un sens.
b) Calcule le taux de variation de A entre 1 et 4.
Voir le corrigéoffert
a) Longueur + largeur = 10, donc la longueur vaut $10 - x$ et $A(x) = x(10 - x)$ .
Il faut $x > 0$ et $10 - x > 0$  : $x \in \,]0 \,;\, 10[$ .

b) $A(1) = 1 \times 9 = 9$ et $A(4) = 4 \times 6 = 24$ .
$T = \frac{24 - 9}{4 - 1} = \frac{15}{3} = 5$ .
Entre 1 et 4 cm de largeur, l'aire augmente en moyenne de 5 cm² par cm.
2
Une culture compte $N(0) = 500$ bactéries, $N(2) = 800$ au bout de 2 heures et $N(5) = 2\,000$ au bout de 5 heures.
a) Calcule le taux de variation de N sur $[0 \,;\, 2]$ , puis sur $[2 \,;\, 5]$ .
b) Sur quelle période la population a-t-elle augmenté le plus vite ?
Voir le corrigéoffert
a) Sur $[0 \,;\, 2]$  : $\frac{800 - 500}{2} = 150$ bactéries par heure.
Sur $[2 \,;\, 5]$  : $\frac{2\,000 - 800}{3} = \frac{1\,200}{3} = 400$ bactéries par heure.

b) 400 est supérieur à 150 : la croissance a été plus rapide entre la 2ᵉ et la 5ᵉ heure.
C'est le taux, ramené à une heure, qui permet de comparer deux périodes de durées différentes.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une fonction affine f vérifie $f(-1) = 8$ et $f(3) = -4$ .
a) Calcule son taux de variation entre $-1$ et 3.
b) Détermine l'expression de $f(x)$ .
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4
Une fonction f est définie sur $[-3 \,;\, 5]$  : elle décroît de $f(-3) = 6$ jusqu'à $f(1) = -2$ , puis croît jusqu'à $f(5) = 3$ .
a) Dresse le tableau de variations de f et donne son minimum.
b) Combien l'équation $f(x) = 4$ a-t-elle de solutions sur $[-3 \,;\, 5]$  ?
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5
Un cycliste a parcouru $d(0{,}5) = 12$ km au bout d'une demi-heure, $d(2) = 51$ km au bout de 2 h et $d(3) = 69$ km au bout de 3 h.
a) Calcule sa vitesse moyenne entre $0{,}5$ h et 2 h, puis entre 2 h et 3 h.
b) Sur quelle période a-t-il roulé le plus vite ?
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6
Le coût de fabrication de x dizaines de pièces est $C(x) = x^{2} + 10x + 200$ , en euros.
a) Calcule $C(10)$ , $C(20)$ et $C(30)$ .
b) Calcule le taux de variation de C entre 10 et 20, puis entre 20 et 30. Que constates-tu ?
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7
Soit f définie sur $[0 \,;\, 6]$ par $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ .
a) Dresse un tableau de valeurs de f pour x entier de 0 à 6.
b) Conjecture le tableau de variations de f et son minimum.
Je remplis case par case !
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8
Une entreprise produit entre 0 et 200 objets. Sa recette est $R(x) = 25x$ et son coût $C(x) = 18x + 630$ , en euros.
a) Exprime le bénéfice $B(x)$ .
b) Détermine le seuil de rentabilité et le bénéfice maximal sur $[0 \,;\, 200]$ .
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9
Soit f définie sur $[0 \,;\, 5]$ par $f(x) = -2x + 9$ .
a) Donne le sens de variation de f en justifiant à l'aide du taux de variation.
b) Résous l'inéquation $f(x) \ge 3$ sur $[0 \,;\, 5]$ .
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10
Un réservoir se vide : son volume, en litres, t minutes après l'ouverture du robinet, est $V(t) = 1\,200 - 35t$ .
a) Donne le taux de variation de V et son unité, puis interprète-le.
b) Au bout de combien de minutes le réservoir est-il vide ? Arrondis au dixième de minute.
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