Les fonctions de la variable réelle

Pour louer une voiture, l'offre A coûte 30 € plus $0{,}15$ € par kilomètre, et l'offre B coûte 55 € plus $0{,}10$ € par kilomètre.
a) Exprime les coûts $A(x)$ et $B(x)$ pour x kilomètres.
b) Donne le taux de variation de chaque fonction et interprète-le.
c) Pour quelles distances l'offre B est-elle moins chère que l'offre A ?

Contre un mur, on clôture un enclos rectangulaire avec 36 m de grillage répartis sur trois côtés. On note x la largeur, en mètres, des deux côtés perpendiculaires au mur.
a) Exprime la longueur du côté parallèle au mur, puis l'aire $A(x)$, et donne l'intervalle où x a un sens.
b) Calcule le taux de variation de A entre 6 et 9, puis entre 9 et 12.
c) Conjecture la largeur qui rend l'aire de l'enclos maximale, et la valeur de cette aire maximale.

Soit $f(x) = x^{2} - 3x$. Un élève affirme : « le taux de variation de f entre 0 et 4 est positif, donc f est croissante sur $[0 \,;\, 4]$ ».
a) Calcule le taux de variation de f entre 0 et 4.
b) Calcule $f(1)$ et compare-le à $f(0)$.
c) L'affirmation de l'élève est-elle vraie ? Justifie.

Soit $f(x) = x^{2}$, et deux nombres a et b avec $a < b$.
a) Montre que le taux de variation de f entre a et b vaut $a + b$.
b) Détermine le sens de variation de f sur $]-\infty \,;\, 0]$ et sur $[0 \,;\, +\infty[$.

La valeur d'un terrain est passée de $42\,000$ € en 2016 à $51\,000$ € en 2022, puis à $55\,800$ € en 2026.
a) Calcule le taux de variation de la valeur, en euros par an, sur chacune des deux périodes.
b) Sur quelle période la valeur a-t-elle augmenté le plus vite ?
c) Si le rythme de la seconde période se maintient, quelle sera la valeur du terrain en 2030 ?

Une fonction f est définie sur $[-4 \,;\, 6]$ : elle décroît de $f(-4) = 3$ à $f(-1) = -5$, croît jusqu'à $f(3) = 7$, puis décroît jusqu'à $f(6) = 1$.
a) Dresse le tableau de variations de f.
b) Donne le maximum et le minimum de f sur $[-4 \,;\, 6]$.
c) Combien l'équation $f(x) = 2$ a-t-elle de solutions sur $[-4 \,;\, 6]$ ?

Une entreprise fabrique x centaines d'objets, avec $0 \le x \le 40$. Son coût est $C(x) = x^{2} + 20x + 300$ et sa recette $R(x) = 60x$, en milliers d'euros.
a) Exprime le bénéfice $B(x)$.
b) Calcule $B(10)$, $B(20)$ et $B(30)$, puis les taux de variation de B entre 10 et 20 et entre 20 et 30.
c) Conjecture la production qui maximise le bénéfice, et la valeur de ce bénéfice maximal.

Le prix d'une course de taxi est une fonction affine f de la distance x, en km. Une course de 8 km coûte $17{,}20$ € et une course de 20 km coûte $35{,}20$ €.
a) Calcule le taux de variation de f entre 8 et 20.
b) Détermine l'expression de $f(x)$.
c) Quelle distance peut-on parcourir pour 50 € ? Arrondis au dixième de kilomètre.

On relève le volume d'eau d'une cuve : 800 L à $t = 0$, 650 L à $t = 10$ min, 425 L à $t = 25$ min, 275 L à $t = 40$ min et 275 L à $t = 60$ min.
a) Calcule le taux de variation du volume sur chacun des quatre intervalles.
b) Le volume peut-il être une fonction affine du temps sur $[0 \,;\, 40]$ ?
c) Décris l'évolution du volume de la cuve sur toute la durée du relevé.

Soit f définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x}$.
a) Calcule le taux de variation de f entre 1 et 4.
b) Montre que, pour $0 < a < b$, le taux de variation de f entre a et b vaut $-\frac{1}{ab}$.
c) Détermine le sens de variation de f sur $]0 \,;\, +\infty[$.