Les fonctions de la variable réelle

🟡 Moyen

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1
Soit $f(x) = -x^{2} + 8x$ . Calcule le taux de variation de f entre 1 et 3, puis entre 5 et 7. Que peux-tu en déduire sur les variations de f ?
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$f(1) = -1 + 8 = 7$ et $f(3) = -9 + 24 = 15$ , donc $T = \frac{15 - 7}{2} = 4$ .
$f(5) = -25 + 40 = 15$ et $f(7) = -49 + 56 = 7$ , donc $T = \frac{7 - 15}{2} = -4$ .
Le premier taux est positif, le second négatif.
f monte entre 1 et 3, puis descend entre 5 et 7 : elle change de sens de variation quelque part entre 3 et 5.
2
Le coût de location d'un utilitaire est $C(x) = 0{,}5x + 120$ , en euros, pour x kilomètres parcourus. Calcule le coût pour 200 km, puis le taux de variation de C entre 100 et 300 km, et interprète-le.
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$C(200) = 0{,}5 \times 200 + 120 = 100 + 120 = 220$ €.
$C(100) = 170$ et $C(300) = 270$ , donc $T = \frac{270 - 170}{300 - 100} = \frac{100}{200} = 0{,}5$ .
L'unité est l'euro par kilomètre.
Chaque kilomètre supplémentaire coûte $0{,}50$ € ; les 120 € fixes n'interviennent pas dans le taux.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une fonction f vérifie $f(3) = -2$ , et son taux de variation entre 3 et 8 vaut $-1{,}5$ . Calcule $f(8)$ .
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4
Soit $f(x) = x^{3}$ . Calcule le taux de variation de f entre $-1$ et 2.
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5
Dans une serre, la température vaut $T(0) = 4$ °C à minuit, $T(6) = 16$ °C à 6 h et $T(10) = 12$ °C à 10 h. Calcule le taux de variation de la température entre 0 et 6 h, puis entre 6 h et 10 h, et interprète chacun.
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6
Un taxi facture 4 € de prise en charge, puis $1{,}80$ € par kilomètre. Exprime le prix $P(x)$ d'une course de x km, calcule le prix d'une course de 12 km, puis donne le taux de variation de P.
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7
Soit $f(x) = x^{2}$ . Détermine les antécédents de 49 par f, puis ceux de $-4$ .
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8
Un artisan a 1 000 € de frais fixes. Chaque objet lui coûte 7 € à fabriquer et il le vend 11 €. Exprime son bénéfice $B(x)$ pour x objets vendus, puis détermine son seuil de rentabilité.
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9
Soit $f(x) = x^{2} + x$ . Calcule le taux de variation de f entre 2 et $2{,}5$ .
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10
Une fonction f définie sur $[0 \,;\, 4]$ vérifie $f(0) = 1$ , $f(1) = 3$ , $f(2) = 2$ et $f(4) = 5$ . Calcule les taux de variation entre 0 et 1, entre 1 et 2, puis entre 2 et 4. La fonction f peut-elle être monotone sur $[0 \,;\, 4]$  ?
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