Le nombre dérivé et la tangente

🟠 Difficile

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1
Soit $f(x) = x^{2} + 4x$ .
a) Calcule $T(h)$ en $a = 1$ et déduis-en $f'(1)$ .
b) Détermine l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
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a) $f(1) = 5$ et $f(1 + h) = 1 + 2h + h^{2} + 4 + 4h = 5 + 6h + h^{2}$ .
$T(h) = \frac{6h + h^{2}}{h} = 6 + h$ , qui se rapproche de 6 : $f'(1) = 6$ .

b) $y = 6(x - 1) + 5 = 6x - 6 + 5$ .
L'équation réduite est $y = 6x - 1$ .
2
Soit $f(x) = 3 - x^{2}$ .
a) Calcule $T(h)$ en $a = 2$ et déduis-en $f'(2)$ .
b) Détermine l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
Voir le corrigéoffert
a) $f(2) = 3 - 4 = -1$ et $f(2 + h) = 3 - (4 + 4h + h^{2}) = -1 - 4h - h^{2}$ .
$T(h) = \frac{-4h - h^{2}}{h} = -4 - h$ , qui se rapproche de $-4$  : $f'(2) = -4$ .

b) $y = -4(x - 2) + (-1) = -4x + 8 - 1$ .
L'équation réduite est $y = -4x + 7$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soit $f(x) = 0{,}5x^{2}$ .
a) Calcule $T(h)$ en $a = 4$ et déduis-en $f'(4)$ .
b) Détermine l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4.
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4
Soit $f(x) = x^{2} - 8x + 1$ . On admet que $f'(a) = 2a - 8$ .
a) Pour quelle valeur de a la tangente est-elle horizontale ?
b) Détermine l'équation de cette tangente horizontale.
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5
Une fonction f vérifie $f(-2) = 3$ et $f'(-2) = 1{,}5$ .
a) Détermine l'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $-2$ .
b) Détermine les points d'intersection de cette tangente avec les deux axes du repère.
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6
Le coût de production de x objets est $C(x) = 0{,}02x^{2} + 8x + 500$ , en euros. On admet que $C'(x) = 0{,}04x + 8$ .
a) Calcule le coût marginal $C'(100)$ .
b) Calcule le coût exact de la 101ᵉ pièce, $C(101) - C(100)$ , et compare.
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7
La tangente à la courbe d'une fonction f au point $A(2 \,;\, 1)$ passe aussi par le point $B(5 \,;\, 7)$ .
a) Calcule $f'(2)$ .
b) Détermine l'équation réduite de cette tangente.
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8
Soit $f(x) = x^{2}$ et a un nombre réel.
a) Calcule $T(h)$ au point d'abscisse a et déduis-en $f'(a)$ .
b) En quel point de la courbe la tangente a-t-elle pour coefficient directeur $-4$  ?
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9
Soit $f(x) = x^{2} - 2x$ . On admet que $f'(a) = 2a - 2$ .
a) En quel point la tangente est-elle parallèle à la droite d'équation $y = 4x + 1$  ?
b) Détermine l'équation réduite de cette tangente.
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10
Une voiture freine : elle parcourt $d(t) = 20t - 2t^{2}$ mètres en t secondes, pour $0 \le t \le 5$ . On admet que $d'(t) = 20 - 4t$ .
a) Quelle est sa vitesse au début du freinage ?
b) À quel instant s'arrête-t-elle, et quelle distance a-t-elle parcourue ?
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