Le nombre dérivé et la tangente

Soit $f(x) = x^{2} - 5x + 2$.
a) Calcule $T(h)$ en un nombre a quelconque.
b) Donne $f'(a)$.
c) Détermine l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

Soit $f(x) = x^{2}$ et le nombre dérivé en $a = -3$.
a) Calcule $T(0{,}1)$, $T(0{,}01)$ et $T(-0{,}01)$.
b) Vers quel nombre ces valeurs semblent-elles se rapprocher ?
c) Établis que $T(h) = -6 + h$ pour tout h non nul, et donne $f'(-3)$.

Le coût de production de x unités est $C(x) = x^{2} + 30x + 400$, en euros. On admet que le coût marginal est $C'(x) = 2x + 30$.
a) Calcule le coût de production de 20 unités.
b) Calcule le coût marginal pour 20 unités et interprète-le.
c) Estime le coût de production de 21 unités à l'aide du coût marginal, puis calcule le coût exact.

Soit $f(x) = x^{2} + 9$. On admet que $f'(a) = 2a$.
a) Écris l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse a, en fonction de a.
b) Montre que cette tangente passe par l'origine du repère lorsque $a^{2} = 9$.
c) Détermine les équations des tangentes à la courbe de f qui passent par l'origine du repère.

Soit $f(x) = -x^{2} + 4x$. On admet que $f'(a) = -2a + 4$. On s'intéresse aux tangentes à la courbe de f aux points d'abscisses 0 et 4.
a) Détermine l'équation réduite de chacune de ces deux tangentes.
b) Détermine le point d'intersection de ces deux tangentes.

Une fonction est de la forme $f(x) = x^{2} + bx + c$. On admet que $f'(a) = 2a + b$. La tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 a pour équation $y = 5x - 3$.
a) Donne $f'(1)$ et $f(1)$.
b) Déduis-en la valeur de b.
c) Détermine la valeur de c, puis l'expression de $f(x)$.

La position d'une voiture qui démarre est $d(t) = 0{,}4t^{2} + 10t$, en mètres, t secondes après le départ d'un chronomètre. On admet que sa vitesse instantanée est $d'(t) = 0{,}8t + 10$, en m/s.
a) Calcule la vitesse de la voiture à $t = 5$ s.
b) À quel instant sa vitesse atteint-elle 90 km/h, soit 25 m/s ?
c) Quelle distance le véhicule a-t-il parcourue quand sa vitesse atteint 90 km/h ? Arrondis au mètre.

La température d'un four, en °C, est $\theta(t) = -0{,}5t^{2} + 30t + 20$ au bout de t minutes, pour $0 \le t \le 30$. On admet que $\theta'(t) = -t + 30$.
a) Calcule $\theta'(10)$ et interprète ce nombre.
b) Détermine l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse 10.
c) À l'aide de cette tangente, estime la température à $t = 10{,}5$ min, puis calcule la valeur exacte.

Soit $f(x) = x^{2}$. On admet que $f'(a) = 2a$, et on considère le point $P(1 \,;\, -3)$.
a) Écris l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse a, en fonction de a.
b) Montre que, si cette tangente passe par P, alors $a^{2} - 2a - 3 = 0$.
c) Vérifie que 3 est solution de l'équation $a^{2} - 2a - 3 = 0$, puis factorise son premier membre.
d) Détermine les points de la parabole dont la tangente passe par P.

Soit $f(x) = 3x^{2} - 2x$.
a) Calcule $T(h)$ en un nombre a quelconque.
b) Donne $f'(a)$.
c) Détermine l'abscisse du point de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 10, puis l'équation réduite de la tangente en ce point.