Le nombre dérivé et la tangente

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1
Soit $f(x) = x^{2} - 5x + 2$ .
Détermine l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.
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a) $f(a + h) = a^{2} + 2ah + h^{2} - 5a - 5h + 2$ , donc $f(a + h) - f(a) = 2ah + h^{2} - 5h = h(2a - 5 + h)$ .
$T(h) = 2a - 5 + h$ .
b) Quand h se rapproche de 0 : $f'(a) = 2a - 5$ .
c) $f(1) = 1 - 5 + 2 = -2$ et $f'(1) = -3$ .
$y = -3(x - 1) - 2 = -3x + 3 - 2$ .
L'équation réduite est $y = -3x + 1$ .
2
Soit $f(x) = x^{2}$ et le nombre dérivé en $a = -3$ .
Établis que $T(h) = -6 + h$ pour tout h non nul, et donne $f'(-3)$ .
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a) $T(0{,}1) = \frac{(-2{,}9)^{2} - 9}{0{,}1} = \frac{8{,}41 - 9}{0{,}1} = -5{,}9$ .
$T(0{,}01) = \frac{8{,}940\,1 - 9}{0{,}01} = -5{,}99$ et $T(-0{,}01) = \frac{9{,}060\,1 - 9}{-0{,}01} = -6{,}01$ .
b) Ces valeurs semblent se rapprocher de $-6$ .
c) $f(-3 + h) = 9 - 6h + h^{2}$ , donc $T(h) = \frac{-6h + h^{2}}{h} = -6 + h$ .
Quand h se rapproche de 0, $T(h)$ se rapproche de $-6$ : $f'(-3) = -6$ .
3
Le coût de production de x unités est $C(x) = x^{2} + 30x + 400$ , en euros. On admet que le coût marginal est $C'(x) = 2x + 30$ .
Estime le coût de production de 21 unités à l'aide du coût marginal, puis calcule le coût exact.
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4
Soit $f(x) = x^{2} + 9$ . On admet que $f'(a) = 2a$ .
Détermine les équations des tangentes à la courbe de f qui passent par l'origine du repère.
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5
Soit $f(x) = -x^{2} + 4x$ . On admet que $f'(a) = -2a + 4$ . On s'intéresse aux tangentes à la courbe de f aux points d'abscisses 0 et 4.
a) Détermine l'équation réduite de chacune de ces deux tangentes.
b) Détermine le point d'intersection de ces deux tangentes.
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6
Une fonction est de la forme $f(x) = x^{2} + bx + c$ . On admet que $f'(a) = 2a + b$ . La tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 a pour équation $y = 5x - 3$ .
Détermine la valeur de c, puis l'expression de $f(x)$ .
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7
La position d'une voiture qui démarre est $d(t) = 0{,}4t^{2} + 10t$ , en mètres, t secondes après le départ d'un chronomètre. On admet que sa vitesse instantanée est $d'(t) = 0{,}8t + 10$ , en m/s.
Quelle distance le véhicule a-t-il parcourue quand sa vitesse atteint 90 km/h ? Arrondis au mètre.
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8
La température d'un four, en °C, est $\theta(t) = -0{,}5t^{2} + 30t + 20$ au bout de t minutes, pour $0 \le t \le 30$ . On admet que $\theta'(t) = -t + 30$ .
a) Calcule $\theta'(10)$ et interprète ce nombre.
b) Détermine l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse 10.
c) À l'aide de cette tangente, estime la température à $t = 10{,}5$ min, puis calcule la valeur exacte.
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9
Soit $f(x) = x^{2}$ . On admet que $f'(a) = 2a$ , et on considère le point $P(1 \,;\, -3)$ .
Détermine les points de la parabole dont la tangente passe par P.
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10
Soit $f(x) = 3x^{2} - 2x$ .
a) Calcule $T(h)$ en un nombre a quelconque.
b) Donne $f'(a)$ .
c) Détermine l'abscisse du point de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 10, puis l'équation réduite de la tangente en ce point.
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