Le nombre dérivé et la tangente

🟡 Moyen

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1
Soit $f(x) = x^{2}$ . Calcule $T(h)$ en $a = -1$ , puis déduis-en $f'(-1)$ .
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$f(-1 + h) = (-1 + h)^{2} = 1 - 2h + h^{2}$ et $f(-1) = 1$ .
$T(h) = \frac{1 - 2h + h^{2} - 1}{h} = \frac{h(-2 + h)}{h} = -2 + h$ .
Quand h se rapproche de 0, $-2 + h$ se rapproche de $-2$ .
Donc $f'(-1) = -2$ .
2
Soit $f(x) = x^{2} - 3x$ . Calcule $T(h)$ en $a = 4$ , puis déduis-en $f'(4)$ .
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$f(4) = 16 - 12 = 4$ .
$f(4 + h) = 16 + 8h + h^{2} - 12 - 3h = 4 + 5h + h^{2}$ .
$T(h) = \frac{4 + 5h + h^{2} - 4}{h} = \frac{h(5 + h)}{h} = 5 + h$ .
Quand h se rapproche de 0 : $f'(4) = 5$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soit $f(x) = 2x^{2}$ . Calcule $T(h)$ en $a = 3$ , puis déduis-en $f'(3)$ .
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4
Soit $f(x) = -x^{2}$ . Calcule $T(h)$ en $a = 1$ , puis déduis-en $f'(1)$ .
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5
Soit $f(x) = x^{2}$ . On admet que $f'(4) = 8$ . Détermine l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 4.
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6
La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse 1 passe par les points $(1 \,;\, 3)$ et $(4 \,;\, -3)$ . Donne $f(1)$ et $f'(1)$ , puis l'équation réduite de cette tangente.
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7
Le coût de production de x objets vérifie $C(200) = 3\,400$ € et $C'(200) = 11$ . Estime le coût de production de 202 objets.
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8
La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse 2 a pour équation $y = -x + 6$ . Donne $f(2)$ et $f'(2)$ , puis l'abscisse du point où cette tangente coupe l'axe des abscisses.
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9
Un objet tombe : il a parcouru $d(t) = 5t^{2}$ mètres au bout de t secondes. Calcule sa vitesse moyenne entre $t = 1$ et $t = 2$ . On admet que $d'(t) = 10t$  : calcule sa vitesse instantanée à $t = 2$ .
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10
Soit $f(x) = x^{2}$ . On admet que $f'(10) = 20$ . Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse 10, puis utilise-la pour estimer $10{,}2^{2}$ . Compare avec la valeur exacte.
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