Les fonctions polynômes de degré 3

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1
Un dé cubique est taillé dans un bois de masse volumique $0{,}6$ g/cm³ ; il pèse 75 g.
a) Calcule le volume du dé.
b) Calcule la longueur de son arête.
c) Quelle est l'arête d'un dé taillé dans le même bois qui pèse 600 g ?
Voir le corrigéoffert
a) Volume = masse ÷ masse volumique : $\frac{75}{0{,}6} = 125$ cm³.
b) $c^{3} = 125$ , donc $c = 5$ cm.
c) Volume : $\frac{600}{0{,}6} = 1\,000$ cm³, donc arête $\sqrt[3]{1\,000} = 10$ cm.
La masse est multipliée par 8, l'arête seulement par 2, car $2^{3} = 8$ .
Le dé de 600 g a une arête de 10 cm.
2
Soit $f(x) = x^{3} - x^{2}$ .
a) Factorise $f(x)$ .
b) Étudie le signe de $f(x)$ .
c) Pour quelles valeurs de x a-t-on $x^{3} > x^{2}$  ?
Voir le corrigéoffert
a) $f(x) = x^{2}(x - 1)$ .
b) $x^{2} \ge 0$ toujours, et il est nul seulement en 0. Le signe de f est donc celui de $x - 1$ , sauf en 0 où f est nul.
$f(x) < 0$ pour $x < 1$ (avec $x \ne 0$ ), $f(x) = 0$ pour $x = 0$ et $x = 1$ , $f(x) > 0$ pour $x > 1$ .
c) $x^{3} > x^{2} \Leftrightarrow f(x) > 0 \Leftrightarrow x > 1$ .
On a $x^{3} > x^{2}$ exactement pour $x \in \,]1 \,;\, +\infty[$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
La courbe d'une fonction f de degré 3, de coefficient dominant 2, coupe l'axe des abscisses exactement en $-3$ , 0 et 4.
a) Écris $f(x)$ sous forme factorisée.
b) Calcule $f(1)$ et $f(-1)$ .
c) Résous l'inéquation $f(x) \ge 0$ .
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4
Soit $f(x) = x^{3} - 4x^{2} - 5x$ .
a) Mets x en facteur.
b) Vérifie que 5 est une racine de f, puis factorise complètement f.
c) Résous l'inéquation $f(x) < 0$ .
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5
Soit $f(x) = (x - 2)(x^{2} - 9)$ .
a) Développe $f(x)$ .
b) Factorise complètement $f(x)$ et donne ses racines.
c) Résous l'inéquation $f(x) \le 0$ .
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6
La température d'une chambre froide, en °C, est modélisée par $T(t) = 0{,}1t(t - 6)(t - 12)$ , où t est le temps en heures, pour $t \in [0 \,;\, 12]$ .
a) À quels instants la température est-elle nulle ?
b) Étudie le signe de $T(t)$ sur $[0 \,;\, 12]$ .
c) Pendant quelle période la température est-elle négative ?
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7
Un capital de $5\,000$ € est placé à un taux annuel constant. Au bout de 3 ans, il vaut $5\,955{,}08$ €. On note q le coefficient multiplicateur annuel.
a) Montre que $q^{3} = 1{,}191\,016$ .
b) Détermine q.
c) Quel est le taux annuel de ce placement ?
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8
Une statue de bronze de $1{,}8$ m de haut pèse 540 kg. On en fabrique des répliques dans le même bronze, avec les mêmes proportions.
a) Une réplique mesure 60 cm de haut : combien pèse-t-elle ?
b) Quelle hauteur doit avoir une réplique qui pèse 160 kg ?
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9
On veut construire un bassin cubique de 10 m³.
a) Calcule son arête, arrondie au centimètre.
b) On décide d'augmenter la capacité de $50\,\%$ . Calcule la nouvelle arête, arrondie au centimètre.
c) De quel pourcentage l'arête augmente-t-elle alors ? Arrondis au dixième de pourcentage.
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10
On note $k = \sqrt[3]{5}$ .
a) Calcule $(2k)^{3}$ .
b) Exprime $\sqrt[3]{40}$ en fonction de k.
c) Donne une valeur approchée de $\sqrt[3]{40}$ au centième, sachant que $\sqrt[3]{5} \approx 1{,}710$ .
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