Les probabilités conditionnelles

Un fournisseur d'énergie compte 2 000 clients. On note E « le client a un contrat d'électricité verte » et R « le client a fait une réclamation ». On sait que $P(E) = 0{,}35$, $P(R) = 0{,}2$ et $P_{E}(R) = 0{,}1$.
a) Calcule $\text{Card}(E)$ et $\text{Card}(R)$.
b) Calcule $\text{Card}(E \cap R)$.
c) Complète le tableau croisé.
d) Quelle est la probabilité qu'un client ait un contrat d'électricité verte sachant qu'il a fait une réclamation ?

Lors d'une compétition, 1 000 athlètes sont contrôlés ; 40 d'entre eux sont réellement dopés. Le contrôle est positif chez 38 athlètes dopés et chez 48 athlètes non dopés. On note D « l'athlète est dopé » et $+$ « le contrôle est positif ». Arrondis les résultats au millième.
a) Complète le tableau croisé.
b) Calcule $P_{D}(+)$.
c) Calcule $P_{\overline{D}}(+)$.
d) Un athlète est contrôlé positif : quelle est la probabilité qu'il soit réellement dopé ?

Un vendeur a écoulé 1 600 vélos électriques : 1 000 modèles urbains (événement U) et 600 modèles sportifs. Une panne de batterie (événement B) a touché 80 vélos urbains et 72 vélos sportifs. Le vendeur affirme : « plus de la moitié des pannes concernent le modèle urbain, c'est donc le moins fiable ». Arrondis les résultats au millième.
a) Complète le tableau croisé.
b) Calcule $P_{U}(B)$ et $P_{\overline{U}}(B)$.
c) Calcule $P_{B}(U)$.
d) L'affirmation du vendeur est-elle justifiée ? Appuie ta réponse sur des probabilités.

Un lycée de 1 000 élèves compte 520 filles (événement F). 360 élèves pratiquent un sport en club (événement C), et l'on sait que $P_{C}(F) = 0{,}5$.
a) Calcule $\text{Card}(C \cap F)$.
b) Complète le tableau croisé.
c) Calcule la probabilité qu'un élève pratique un sport en club sachant que c'est un garçon.

Dans un groupe de 300 personnes, on note A « lire la presse » et B « écouter la radio ». On sait que $\text{Card}(A) = 120$ et $\text{Card}(A \cap B) = 48$ ; le nombre de personnes qui écoutent la radio n'est pas connu.
a) Calcule $P_{A}(B)$.
b) Pour quelle valeur de $\text{Card}(B)$ a-t-on $P_{B}(A) = P_{A}(B)$ ?
c) Combien de personnes doivent écouter la radio pour que $P_{B}(A) = 0{,}6$ ?

Une entreprise de 900 salariés classe son personnel selon l'ancienneté : 300 salariés ont moins de 5 ans d'ancienneté, 400 entre 5 et 15 ans, et 200 plus de 15 ans. Cette année, 120 salariés de moins de 5 ans, 100 salariés de 5 à 15 ans et 30 salariés de plus de 15 ans ont suivi une formation (événement F). Arrondis les résultats au millième.
a) Calcule la probabilité de F sachant l'ancienneté, pour chacune des trois catégories.
b) Calcule $P(F)$.
c) Un salarié a suivi une formation : quelle est la probabilité qu'il ait moins de 5 ans d'ancienneté ?

On lance deux dés équilibrés à six faces ; les 36 issues équiprobables forment un tableau croisé (résultat du premier dé en ligne, du second en colonne). On note A « la somme des deux dés est égale à 8 » et B « au moins un des deux dés affiche 6 ». Arrondis les résultats au millième.
a) Calcule $\text{Card}(A)$, $\text{Card}(B)$ et $\text{Card}(A \cap B)$.
b) Calcule $P_{A}(B)$.
c) Sachant qu'au moins un des deux dés affiche 6, quelle est la probabilité que la somme soit égale à 8 ?

Dans une ville de 5 000 foyers, 1 250 possèdent une voiture électrique (événement V). 900 foyers ont des panneaux solaires (événement S), dont 450 possèdent aussi une voiture électrique.
a) Calcule $P(S \cap V)$.
b) Calcule $P_{S}(V)$.
c) Calcule $P_{V}(S)$.
d) Un journaliste écrit : « la moitié des propriétaires de voiture électrique ont des panneaux solaires ». A-t-il raison ? Justifie.

Un festival accueille 1 500 spectateurs, dont $40\,\%$ sont venus en transport en commun (événement T). Parmi eux, $70\,\%$ habitent la région (événement R). Au total, 1 050 spectateurs habitent la région.
a) Complète le tableau croisé (T ou non ; R ou non).
b) Calcule $P_{\overline{T}}(R)$.
c) Quelle est la probabilité qu'un spectateur soit venu en transport en commun sachant qu'il n'habite pas la région ?

Un assureur automobile compte 4 000 assurés : 800 ont moins de 25 ans, 2 400 ont entre 25 et 60 ans, et 800 ont plus de 60 ans. Dans l'année, on a enregistré un sinistre (événement S) chez 96 assurés de moins de 25 ans, 144 assurés de 25 à 60 ans et 64 assurés de plus de 60 ans. Arrondis les résultats au millième.
a) Calcule la probabilité de S sachant la classe d'âge, pour chacune des trois classes.
b) Calcule $P(S)$.
c) Calcule la probabilité qu'un assuré ayant eu un sinistre ait entre 25 et 60 ans.
d) L'assureur veut appliquer une surprime à la classe d'âge la plus risquée. Doit-il la faire payer aux 25-60 ans, qui ont eu le plus de sinistres, ou à une autre classe ? Justifie par des probabilités.