Les suites numériques

🟠 Difficile

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1
Une suite arithmétique u vérifie $u(3) = 14$ et $u(7) = 34$ .
a) Calcule sa raison r.
b) Calcule $u(4)$ , $u(5)$ , $u(6)$ et $u(2)$ .
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a) Du rang 3 au rang 7, il y a 4 pas : on ajoute 4 fois la raison.
$34 = 14 + 4r$ , donc $4r = 20$ et $r = 5$ .

b) $u(4) = 14 + 5 = 19$ , $u(5) = 24$ , $u(6) = 29$ ; contrôle : $u(7) = 29 + 5 = 34$ .
Pour revenir en arrière, on retire la raison : $u(2) = 14 - 5 = 9$ .
2
Une suite géométrique v à termes positifs vérifie $v(0) = 500$ et $v(2) = 720$ .
a) Détermine sa raison q.
b) Calcule $v(1)$ et $v(3)$ .
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a) Du rang 0 au rang 2, on multiplie deux fois par q : $v(2) = q \times q \times v(0)$ .
$q^{2} = \frac{720}{500} = 1{,}44$ . Comme $q > 0$ , $q = 1{,}2$ (car $1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44$ ).

b) $v(1) = 1{,}2 \times 500 = 600$ ; contrôle : $1{,}2 \times 600 = 720$ .
$v(3) = 1{,}2 \times 720 = 864$ .
3
En 2024, la ville A compte $12\,000$ habitants et en gagne 300 par an ; la ville B compte $11\,000$ habitants et en gagne $4\,\%$ par an.
a) Donne la nature et la raison de chacune des deux suites.
b) Au bout de combien d'années la ville B compte-t-elle plus d'habitants que la ville A ?
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4
Un lac contient 900 kg d'un polluant. Grâce à un traitement, $20\,\%$ du polluant restant disparaît chaque année.
a) Donne la raison de la suite des masses de polluant et sa relation de récurrence.
b) Au bout de combien d'années la masse de polluant devient-elle inférieure à 300 kg ?
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5
La suite u est définie par $u(n) = n^{2} - 10n + 30$ .
a) Calcule $u(n+1) - u(n)$ .
b) Étudie le sens de variation de u et donne son plus petit terme.
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6
La suite u est définie par $u(0) = 1$ et $u(n+1) = 2u(n) + 3$ .
a) Calcule $u(1)$ , $u(2)$ , $u(3)$ et $u(4)$ .
b) Montre que u n'est ni arithmétique ni géométrique.
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7
Le prix d'un objet de collection, relevé chaque année, vaut 64 € ; 72 € ; 81 € ; $91{,}125$ €.
a) Calcule les différences puis les quotients de termes consécutifs.
b) Donne la nature de la suite, sa raison, et l'évolution annuelle en pourcentage.
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8
Léa possède 150 € et en dépose 35 chaque semaine dans sa tirelire. Tom possède 420 € et en dépense 25 chaque semaine.
a) Écris la relation de récurrence de chacune des deux suites.
b) Au bout de combien de semaines Léa possède-t-elle plus d'argent que Tom ?
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9
Une suite géométrique v a pour raison $0{,}9$ et vérifie $v(3) = 72{,}9$ .
a) Comment obtient-on $v(2)$ à partir de $v(3)$ ?
b) Calcule $v(2)$ , $v(1)$ et $v(0)$ .
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10
Un loyer de 200 € augmente de $10\,\%$ chaque année pendant 3 ans.
a) Calcule le loyer après chacune des trois hausses.
b) Le loyer a-t-il augmenté de $30\,\%$ en tout ? Donne l'évolution globale en pourcentage.
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