Suites : généralités

🟠 Difficile

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1
La suite u est définie par $u_{n} = n^{2} - 10n + 30$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_{n}$ .
b) Étudie le sens de variation de u et donne son plus petit terme.
Voir le corrigéoffert
a) $u_{n+1} = (n+1)^{2} - 10(n+1) + 30 = n^{2} + 2n + 1 - 10n - 10 + 30 = n^{2} - 8n + 21$ .
$u_{n+1} - u_{n} = n^{2} - 8n + 21 - (n^{2} - 10n + 30) = 2n - 9$ .

b) Pour $n \le 4$  : $2n - 9 < 0$ , donc la suite décroît de $u_{0}$ jusqu'à $u_{5}$ .
Pour $n \ge 5$  : $2n - 9 > 0$ , donc la suite croît ensuite.
Elle n'est ni croissante ni décroissante. Son plus petit terme est $u_{5} = 25 - 50 + 30 = 5$ .
Contrôle : $u_{4} = 6$ et $u_{6} = 6$ .
2
Léa possède 150 € et en dépose 35 chaque semaine dans sa tirelire. Tom possède 420 € et en dépense 25 chaque semaine.
a) Écris la relation de récurrence de chacune des deux suites.
b) Au bout de combien de semaines Léa possède-t-elle plus d'argent que Tom ?
Voir le corrigéoffert
a) Léa : $\ell_{0} = 150$ et $\ell_{n+1} = \ell_{n} + 35$ .
Tom : $t_{0} = 420$ et $t_{n+1} = t_{n} - 25$ .

b) Semaine par semaine :
1 : Léa 185, Tom 395 ; 2 : Léa 220, Tom 370 ; 3 : Léa 255, Tom 345 ;
4 : Léa 290, Tom 320 ; 5 : Léa 325, Tom 295.
C'est au bout de 5 semaines que Léa possède plus d'argent que Tom.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un loyer de 200 € augmente de $10\,\%$ chaque année pendant 3 ans.
a) Calcule le loyer après chacune des trois hausses.
b) Le loyer a-t-il augmenté de $30\,\%$ en tout ? Donne l'évolution globale en pourcentage.
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4
La suite u est définie par $u_{n} = (n - 3)^{2}$ .
a) Calcule $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ et $u_{5}$ .
b) Cette suite est-elle croissante, décroissante, ou ni l'une ni l'autre ? Justifie.
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5
La suite u est définie par $u_{0} = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}8u_{n} + 10$ .
a) Calcule $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ , arrondis au dixième.
b) Les termes semblent-ils s'approcher d'une valeur ? Laquelle ?
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6
Le nuage de points d'une suite u passe par $(0 \,;\, 10)$ , $(1 \,;\, 7)$ , $(2 \,;\, 5)$ , $(3 \,;\, 4)$ et $(4 \,;\, 4)$ .
a) Calcule les différences entre deux termes consécutifs.
b) La suite est-elle décroissante ? Et strictement décroissante ?
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7
Deux forfaits de location sont proposés. Le forfait A coûte 60 € puis 8 € par jour. Le forfait B coûte 20 € puis 12 € par jour. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les prix, en euros, pour n jours.
a) Écris $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de n.
b) À partir de combien de jours le forfait A devient-il plus avantageux ?
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8
La suite u est définie par $u_{n} = \dfrac{n}{n + 1}$ .
a) Calcule $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b) Tous les termes sont-ils inférieurs à 1 ? Justifie.
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9
Le prix d'un article de 80 € augmente de $8\,\%$ , puis baisse de $8\,\%$ .
a) Calcule le prix après chaque étape.
b) Retrouve-t-on le prix de départ ? Par quel nombre le prix a-t-il été multiplié en tout ?
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10
Une suite u vérifie $u_{n+1} - u_{n} = 2n - 7$ pour tout entier n.
a) Pour quels rangs la suite est-elle décroissante ?
b) À partir de quel rang devient-elle croissante ?
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