Les suites numériques

Une action perd $20\,\%$ de sa valeur en janvier.
Quel pourcentage de hausse faudrait-il en février pour que l'action revienne à sa valeur du début janvier ?

Un emprunt de $9\,000$ €, sans intérêts, est remboursé par mensualités de 800 €. On note $R(n)$ la somme restant due après n mensualités.
Combien de mensualités faut-il verser pour rembourser la totalité de l'emprunt, et combien vaut la dernière ?

Une suite arithmétique u vérifie $u(4) = 23$ et $u(10) = 5$.
Détermine le premier rang n pour lequel $u(n)$ est strictement négatif.

La suite v est définie par $v(0) = 400$ et $v(n+1) = 0{,}95 \times v(n)$. Ses termes sont tous positifs.
Détermine le sens de variation de la suite v.

Une substance perd la moitié de sa masse toutes les 6 heures. On en dispose de 64 g au départ.
Au bout de combien d'heures la masse devient-elle strictement inférieure à 1 g ?

Un musée a reçu $40\,000$ visiteurs en 2021, $43\,200$ en 2022 et $46\,656$ en 2023.
a) Montre que ces trois nombres sont les premiers termes d'une suite géométrique.
b) Traduis sa raison en évolution annuelle, en pourcentage.
c) Si cette évolution se poursuit, combien de visiteurs le musée recevra-t-il en 2025 ? Arrondis à l'unité.

La suite u est définie par $u(0) = 3$ et $u(n+1) = u(n) + 4$ ; la suite v par $v(0) = 1$ et $v(n+1) = 2v(n)$.
À partir de quel rang a-t-on $v(n) > u(n)$ ?

Deux entrepôts contiennent chacun $5\,000$ pièces. L'entrepôt A en expédie 400 par semaine ; l'entrepôt B expédie chaque semaine $10\,\%$ de son stock restant.
a) Donne la nature et la raison de chacune des deux suites de stocks.
b) Calcule le stock de chaque entrepôt au bout de 3 semaines.
c) À partir de quelle semaine le stock de l'entrepôt A devient-il inférieur à celui de l'entrepôt B ?

Sami place $2\,000$ € à $3\,\%$ par an et ajoute 500 € à la fin de chaque année. On note $S(n)$ son épargne au bout de n années, avec $S(n+1) = 1{,}03 \times S(n) + 500$.
Au bout de combien d'années l'épargne dépasse-t-elle $4\,000$ € ?

Soit u une suite arithmétique de raison r. On définit la suite v par $v(n) = u(n) + u(n+1)$.
Montre, dans le cas général, que v est une suite arithmétique et donne sa raison en fonction de r.