Suites : généralités

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1
Une action perd $20\,\%$ de sa valeur en janvier.
a) Par quel nombre sa valeur a-t-elle été multipliée en janvier ?
b) Quel pourcentage de hausse faudrait-il en février pour que l'action revienne à sa valeur du début janvier ?
Voir le corrigéoffert
a) Perdre $20\,\%$ , c'est multiplier par $0{,}8$ .
b) Il faut un coefficient k tel que $0{,}8 \times k = 1$ , donc $k = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ .
Un coefficient de $1{,}25$ correspond à une hausse de $25\,\%$ .
Exemple : 100 € deviennent 80 € ; il faut ajouter 20 €, soit $25\,\%$ de 80 €.
Il faudrait une hausse de $25\,\%$ en février.
2
La suite u est définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n+1} = u_{n} + 4$  ; la suite v par $v_{0} = 1$ et $v_{n+1} = 2v_{n}$ .
a) Calcule les termes des deux suites jusqu'au rang 6.
b) Décris l'allure des deux nuages de points.
c) À partir de quel rang a-t-on $v_{n} > u_{n}$  ?
Voir le corrigéoffert
a) u : 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23 ; 27.
v : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64.
b) Les points de u sont alignés (on ajoute toujours 4) ; ceux de v s'incurvent vers le haut (on multiplie par 2).
c) Au rang 4 : $v_{4} = 16 < u_{4} = 19$ . Au rang 5 : $v_{5} = 32 > u_{5} = 23$ .
Ensuite v double alors que u n'augmente que de 4 : l'écart ne fait que se creuser.
On a $v_{n} > u_{n}$ à partir du rang 5.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un emprunt de $9\,000$ €, sans intérêts, est remboursé par mensualités de 800 €. On note $R_{n}$ la somme restant due après n mensualités.
a) Écris la relation de récurrence de la suite R.
b) Combien de mensualités faut-il verser pour rembourser la totalité de l'emprunt, et combien vaut la dernière ?
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4
La suite v est définie par $v_{0} = 400$ et $v_{n+1} = 0{,}95 \times v_{n}$ . Ses termes sont tous positifs.
a) Exprime $v_{n+1} - v_{n}$ en fonction de $v_{n}$ .
b) Détermine le sens de variation de la suite v.
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5
La suite u est définie par $u_{n} = n^{2} - 12n + 20$ .
a) Calcule $u_{n+1} - u_{n}$ en fonction de n.
b) Détermine le rang du plus petit terme, et calcule ce terme.
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6
Un réservoir contient $2\,000$ litres. On en prélève 150 litres par jour. On note $u_{n}$ le volume restant, en litres, au bout de n jours.
a) Écris la relation de récurrence.
b) À partir de quel jour le réservoir est-il vide ? Que vaut le dernier prélèvement ?
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7
On lit l'algorithme suivant :
$u \leftarrow 5$
Pour i allant de 1 à 4
$u \leftarrow 3u - 4$
Fin Pour
a) Quelle valeur contient u à la fin ?
b) Écris la relation de récurrence de la suite ainsi construite.
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8
La suite u est définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n+1} = u_{n} + 2n + 1$ .
a) Calcule $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
b) Compare ces termes aux carrés des entiers. Quelle conjecture peux-tu faire ?
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9
Un prix subit une hausse de $x\,\%$ , puis une baisse de $x\,\%$ , avec $x$ strictement compris entre 0 et 100.
a) Écris le coefficient multiplicateur global en fonction de x.
b) Montre que le prix final est toujours inférieur au prix de départ.
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10
Un élève trace le nuage de points d'une suite, puis relie les points par des segments.
a) Explique pourquoi ce tracé n'a pas de sens.
b) Que représenterait pourtant la pente de ces segments ?
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