Variables aléatoires et échantillonnage

Une association vend 200 tickets à gratter à 3 € l'unité. Parmi eux, 1 ticket rapporte 150 €, 5 tickets rapportent 30 €, 14 tickets rapportent 5 € et les autres ne rapportent rien. On note X le gain net d'un acheteur (lot reçu moins le prix du ticket).
a) Dresse la loi de probabilité de X.
b) Calcule $E(X)$ et interprète le résultat.

On lance deux dés équilibrés et l'on note X le plus grand des deux numéros obtenus (si les deux numéros sont égaux, X vaut ce numéro).
a) Dresse la loi de probabilité de X.
b) Calcule $P(X \le 3)$, puis $E(X)$ arrondie au centième.

Un élève répond au hasard à 3 questions de type vrai ou faux, indépendamment. On note X le nombre de bonnes réponses.
a) À l'aide d'un arbre, dresse la loi de probabilité de X.
b) Calcule $E(X)$ et $P(X \ge 2)$.

Un assureur propose une assurance de téléphone à 60 € par an. Dans $10\,\%$ des cas, le téléphone est cassé et la réparation coûte 250 € à l'assureur ; dans $2\,\%$ des cas, il est volé et le remplacement coûte 600 €. On note X le résultat de l'assureur sur un contrat, en euros.
a) Dresse la loi de probabilité de X.
b) Calcule $E(X)$, puis le nombre de contrats nécessaires pour espérer un résultat de 50 000 €.

Une variable aléatoire X prend les valeurs $-5$, 0 et 20. On sait que $P(X = 0) = 0{,}3$ et l'on note $p = P(X = 20)$.
a) Exprime $P(X = -5)$, puis $E(X)$, en fonction de p.
b) Pour quelle valeur de p a-t-on $E(X) = 0$ ? Donne alors $P(X = -5)$.

Dans une région, $42\,\%$ des électeurs sont favorables à un projet. On choisit un électeur au hasard et l'on note X la variable qui vaut 1 s'il est favorable, 0 sinon.
a) Donne la loi de X et son espérance.
b) Un sondage simulé sur 500 électeurs donne 196 réponses favorables. Calcule la fréquence observée. Ce résultat contredit-il le modèle ? Justifie.

Un boulanger prépare chaque matin des tartes, qui lui coûtent 3 € pièce et se vendent 8 € pièce ; les tartes invendues sont perdues. La demande D du jour vaut 1 tarte avec une probabilité de 0,2, 2 tartes avec une probabilité de 0,5 et 3 tartes avec une probabilité de 0,3.
a) Le boulanger prépare 3 tartes. Dresse la loi de son bénéfice et calcule son espérance.
b) Calcule l'espérance du bénéfice s'il prépare seulement 2 tartes. Quel choix est le plus avantageux en moyenne ?

On lance quatre fois une pièce équilibrée et l'on note X le nombre de faces obtenues.
a) Dresse la loi de probabilité de X.
b) Calcule $P(X \le 1)$ et $E(X)$.

Jeu A : on gagne 10 € avec une probabilité de 0,1, et l'on perd 1 € sinon. Jeu B : on gagne 3 € avec une probabilité de 0,4, et l'on perd 2 € sinon.
a) Calcule l'espérance du gain pour chacun des deux jeux.
b) Lequel des deux jeux est équitable ? Lequel est le plus favorable au joueur en moyenne ?

On simule 10 échantillons de taille 40 d'une loi de Bernoulli de paramètre 0,25. Les nombres de 1 obtenus sont : 8, 11, 12, 9, 10, 7, 13, 10, 9, 11.
a) Calcule la fréquence observée des 1 dans chaque échantillon.
b) Calcule la fréquence des 1 sur l'ensemble des 400 tirages, et compare-la au paramètre du modèle.