Variables aléatoires et échantillonnage

On lance deux dés équilibrés. Si la somme vaut 12, le joueur gagne 25 € ; si elle vaut 7, il gagne 5 € ; sinon, il perd 2 €. La mise est incluse dans ces montants. On note X le gain du joueur, en euros. Arrondis les résultats au centime.
Quel gain faudrait-il offrir pour une somme égale à 12 pour que le jeu soit équitable ?

Un assureur propose un contrat d'habitation au prix annuel c, en euros. Chaque année, $2\,\%$ des assurés déclarent un sinistre qui lui coûte 5 000 €, et $0{,}5\,\%$ déclarent un sinistre grave qui lui coûte 40 000 € ; les autres ne déclarent rien. On note X le résultat de l'assureur sur un contrat.
Quel prix minimal l'assureur doit-il fixer pour que son résultat moyen par contrat soit d'au moins 80 € ?

Un joueur de basket tire trois lancers francs ; il réussit chacun avec une probabilité de 0,8, indépendamment des autres. Chaque lancer réussi rapporte 1 point, et l'on note X le nombre de points marqués.
Combien de points le joueur marque-t-il en moyenne sur une série de trois lancers francs ?

Chaque matin, un fromager commande des tommes. La demande du jour vaut 0 tomme avec une probabilité de 0,1, 1 tomme avec une probabilité de 0,3, 2 tommes avec une probabilité de 0,4 et 3 tommes avec une probabilité de 0,2. Chaque tomme vendue lui rapporte un bénéfice de 12 € ; chaque tomme commandée mais invendue lui fait perdre 5 €.
Le fromager a-t-il intérêt, en moyenne, à commander 2 ou 3 tommes ?

Un joueur affirme qu'une pièce est équilibrée. On simule 100 échantillons de 50 lancers d'une pièce équilibrée : 95 fréquences de pile sont comprises entre 0,36 et 0,64, et aucune ne dépasse 0,68. On lance ensuite la vraie pièce 50 fois et l'on obtient 36 piles.
Peut-on raisonnablement douter que la pièce soit équilibrée ? Justifie, en précisant ce que la simulation permet d'affirmer et ce qu'elle ne permet pas d'affirmer.

Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2 et 3. On sait que $P(X = 0) = 0{,}1$, $P(X = 3) = 0{,}2$ et $E(X) = 1{,}8$. On note $a = P(X = 1)$ et $b = P(X = 2)$.
Calcule la probabilité que X prenne une valeur supérieure ou égale à 2.

Un client achète un téléviseur. Le vendeur propose une extension de garantie de 3 ans pour 79 €. Sans extension, sur ces 3 ans : le téléviseur tombe en panne réparable avec une probabilité de 0,12 (réparation à 350 €), il tombe en panne irréparable avec une probabilité de 0,03 (rachat d'un téléviseur à 600 €), et il ne tombe pas en panne sinon. On note X la dépense du client sans extension, en euros.
L'extension de garantie à 79 € est-elle intéressante en moyenne pour le client ?

Une loterie vend 1 000 tickets à 5 € l'unité. Les lots sont : 1 lot de 1 000 €, 50 lots de 20 €, et k lots de 100 €, où k est un entier ; les autres tickets ne rapportent rien. On note L la valeur du lot obtenu par un acheteur et G son gain net ($G = L - 5$).
Combien de lots de 100 € l'organisateur peut-il proposer au maximum pour gagner en moyenne au moins 1 € par ticket vendu ?

Sur sa tournée, un livreur passe deux feux indépendants : le premier est vert avec une probabilité de 0,6, le second avec une probabilité de 0,5. À chaque feu rouge, il perd 2 minutes. On note X le temps perdu aux feux sur une livraison, en minutes.
Sur 250 livraisons, combien de minutes le livreur perd-il en moyenne aux feux au total ?

Dans une région, $30\,\%$ des habitants utilisent le vélo pour aller travailler. On choisit un habitant au hasard et l'on note X la variable qui vaut 1 s'il utilise le vélo, 0 sinon. On simule 1 000 échantillons de taille 25 : $95\,\%$ des fréquences observées sont comprises entre 0,12 et 0,48. On simule aussi 1 000 échantillons de taille 400 : $95\,\%$ des fréquences sont comprises entre 0,255 et 0,345.
a) Donne la loi de X et son espérance.
b) Quelle taille d'échantillon donne les fréquences les moins dispersées ? Explique.
c) Un sondage auprès de 25 habitants donne une fréquence de 0,44. Peut-on en conclure que la proportion d'habitants utilisant le vélo dépasse $30\,\%$ dans la région ?