Variables aléatoires et échantillonnage

On lance deux dés équilibrés. Si la somme vaut 12, le joueur gagne 25 € ; si elle vaut 7, il gagne 5 € ; sinon, il perd 2 €. La mise est incluse dans ces montants. On note X le gain du joueur, en euros. Arrondis les résultats au centime.
a) Calcule la probabilité d'obtenir une somme égale à 12, puis égale à 7.
b) Dresse la loi de probabilité de X.
c) Calcule $E(X)$ et dis si le jeu est favorable au joueur.
d) Quel gain faudrait-il offrir pour une somme égale à 12 pour que le jeu soit équitable ?

Un assureur propose un contrat d'habitation au prix annuel c, en euros. Chaque année, $2\,\%$ des assurés déclarent un sinistre qui lui coûte 5 000 €, et $0{,}5\,\%$ déclarent un sinistre grave qui lui coûte 40 000 € ; les autres ne déclarent rien. On note X le résultat de l'assureur sur un contrat.
a) Pour $c = 350$, dresse la loi de X.
b) Pour $c = 350$, calcule $E(X)$.
c) Quel prix minimal l'assureur doit-il fixer pour que son résultat moyen par contrat soit d'au moins 80 € ?

Un joueur de basket tire trois lancers francs ; il réussit chacun avec une probabilité de 0,8, indépendamment des autres. Chaque lancer réussi rapporte 1 point, et l'on note X le nombre de points marqués.
a) Quelles valeurs X peut-il prendre ?
b) À l'aide d'un arbre, dresse la loi de probabilité de X.
c) Calcule $P(X \ge 2)$.
d) Combien de points le joueur marque-t-il en moyenne sur une série de trois lancers francs ?

Chaque matin, un fromager commande des tommes. La demande du jour vaut 0 tomme avec une probabilité de 0,1, 1 tomme avec une probabilité de 0,3, 2 tommes avec une probabilité de 0,4 et 3 tommes avec une probabilité de 0,2. Chaque tomme vendue lui rapporte un bénéfice de 12 € ; chaque tomme commandée mais invendue lui fait perdre 5 €.
a) Il commande 2 tommes : dresse la loi de son bénéfice.
b) Calcule l'espérance de ce bénéfice.
c) Dresse la loi du bénéfice s'il commande 3 tommes, et calcule son espérance.
d) Le fromager a-t-il intérêt, en moyenne, à commander 2 ou 3 tommes ?

Un joueur affirme qu'une pièce est équilibrée. On simule 100 échantillons de 50 lancers d'une pièce équilibrée : 95 fréquences de pile sont comprises entre 0,36 et 0,64, et aucune ne dépasse 0,68. On lance ensuite la vraie pièce 50 fois et l'on obtient 36 piles.
a) Quelle loi modélise un lancer de la pièce si elle est équilibrée, en codant pile par 1 ? Donne son espérance.
b) Calcule la fréquence observée de pile pour la vraie pièce.
c) Peut-on raisonnablement douter que la pièce soit équilibrée ? Justifie, en précisant ce que la simulation permet d'affirmer et ce qu'elle ne permet pas d'affirmer.

Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2 et 3. On sait que $P(X = 0) = 0{,}1$, $P(X = 3) = 0{,}2$ et $E(X) = 1{,}8$. On note $a = P(X = 1)$ et $b = P(X = 2)$.
a) Écris l'égalité traduisant que la somme des probabilités vaut 1.
b) Écris l'égalité traduisant la valeur de l'espérance.
c) Détermine a et b.
d) Calcule la probabilité que X prenne une valeur supérieure ou égale à 2.

Un client achète un téléviseur. Le vendeur propose une extension de garantie de 3 ans pour 79 €. Sans extension, sur ces 3 ans : le téléviseur tombe en panne réparable avec une probabilité de 0,12 (réparation à 350 €), il tombe en panne irréparable avec une probabilité de 0,03 (rachat d'un téléviseur à 600 €), et il ne tombe pas en panne sinon. On note X la dépense du client sans extension, en euros.
a) Dresse la loi de probabilité de X.
b) Calcule $E(X)$.
c) L'extension de garantie à 79 € est-elle intéressante en moyenne pour le client ?

Une loterie vend 1 000 tickets à 5 € l'unité. Les lots sont : 1 lot de 1 000 €, 50 lots de 20 €, et k lots de 100 €, où k est un entier ; les autres tickets ne rapportent rien. On note L la valeur du lot obtenu par un acheteur et G son gain net ($G = L - 5$).
a) Exprime $E(L)$ en fonction de k.
b) Déduis-en $E(G)$ en fonction de k.
c) Combien de lots de 100 € l'organisateur peut-il proposer au maximum pour gagner en moyenne au moins 1 € par ticket vendu ?

Sur sa tournée, un livreur passe deux feux indépendants : le premier est vert avec une probabilité de 0,6, le second avec une probabilité de 0,5. À chaque feu rouge, il perd 2 minutes. On note X le temps perdu aux feux sur une livraison, en minutes.
a) Construis l'arbre et calcule la probabilité de chacun des quatre chemins.
b) Dresse la loi de probabilité de X.
c) Calcule $E(X)$.
d) Sur 250 livraisons, combien de minutes le livreur perd-il en moyenne aux feux au total ?

Dans une région, $30\,\%$ des habitants utilisent le vélo pour aller travailler. On choisit un habitant au hasard et l'on note X la variable qui vaut 1 s'il utilise le vélo, 0 sinon. On simule 1 000 échantillons de taille 25 : $95\,\%$ des fréquences observées sont comprises entre 0,12 et 0,48. On simule aussi 1 000 échantillons de taille 400 : $95\,\%$ des fréquences sont comprises entre 0,255 et 0,345.
a) Donne la loi de X et son espérance.
b) Quelle taille d'échantillon donne les fréquences les moins dispersées ? Explique.
c) Un sondage auprès de 25 habitants donne une fréquence de 0,44. Peut-on en conclure que la proportion d'habitants utilisant le vélo dépasse $30\,\%$ dans la région ?