Variables aléatoires et échantillonnage

On lance un dé équilibré. Si le résultat est 1 ou 2, le joueur perd 1 € ; si c'est 3, 4 ou 5, il gagne 1 € ; si c'est 6, il gagne 3 €. On note X le gain. Dresse la loi de X et calcule $E(X)$, arrondie au centime.

Une variable aléatoire X suit la loi : $P(X = 0) = 0{,}35$, $P(X = 1) = 0{,}4$, $P(X = 2) = 0{,}2$, $P(X = 3) = 0{,}05$. Calcule $P(X \ge 2)$ de deux façons : par addition, puis à l'aide de $P(X \le 1)$.

Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 10 et 20. On sait que $P(X = 10) = 0{,}3$ et que $E(X) = 7$. Détermine $P(X = 20)$ puis $P(X = 0)$.

Sur son trajet, un livreur passe deux feux indépendants, chacun étant vert avec une probabilité de 0,7. On note X le nombre de feux verts. Dresse la loi de X et calcule $E(X)$.

Dans une ville, $18\,\%$ des foyers possèdent un vélo électrique. On choisit un foyer au hasard et l'on note X la variable qui vaut 1 si le foyer possède un vélo électrique, 0 sinon. Donne la loi de X et son espérance, puis interprète cette espérance.

Une entreprise facture 12 € la livraison d'un colis. Dans $5\,\%$ des cas, le colis est perdu : l'entreprise encaisse les 12 € mais rembourse 40 € au client. On note X le résultat de l'entreprise sur un colis, en euros. Dresse la loi de X et calcule $E(X)$.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes, qui contient 4 as. Un as rapporte 20 €, les autres cartes ne rapportent rien, et le joueur paie une mise m pour jouer. Exprime l'espérance du gain net en fonction de m, puis détermine la mise qui rend le jeu équitable.

On simule 20 échantillons de taille 50 d'une loi de Bernoulli de paramètre 0,6. Autour de quelle valeur les fréquences observées des 1 se regroupent-elles ? Une fréquence observée de 0,52 est-elle anormale ? Justifie.

On réalise deux simulations d'une loi de Bernoulli de paramètre 0,3 : 100 échantillons de taille 20, puis 100 échantillons de taille 500. Dans laquelle les fréquences observées sont-elles le plus dispersées ? Justifie.

Le nombre X d'appels reçus par un standard en une minute suit la loi : $P(X = 0) = 0{,}05$, $P(X = 1) = 0{,}15$, $P(X = 2) = 0{,}3$, $P(X = 3) = 0{,}25$, $P(X = 4) = 0{,}15$, $P(X = 5) = 0{,}1$. Le standard ne peut traiter que 3 appels par minute. Calcule la probabilité qu'il soit débordé pendant une minute donnée.