Suites arithmétiques et géométriques

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1
On lâche une balle d'une hauteur de 2 m. À chaque rebond, elle remonte à 0,8 fois la hauteur précédente. On note $h_n$ la hauteur atteinte après le n-ième rebond, et on pose $h_0 = 2$ (hauteur initiale).
À partir de quel rebond la hauteur devient-elle inférieure à 0,5 m ?
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a) À chaque rebond on multiplie par 0,8 : suite géométrique de raison $q = 0{,}8$ et de premier terme $h_0 = 2$ . Terme général : $h_n = 2 \times 0{,}8^{n}$ .
b) Après le 3ᵉ rebond : $h_3 = 2 \times 0{,}8^{3} = 2 \times 0{,}512 = 1{,}024\,\text{m}$ .
c) On cherche le premier n tel que $2 \times 0{,}8^{n} < 0{,}5$ , soit $0{,}8^{n} < \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25$ .
$0{,}8^{6} \approx 0{,}2621$ (encore trop grand) ; $0{,}8^{7} \approx 0{,}2097 (< 0{,}25)$ .
C'est donc à partir du 7ᵉ rebond que la hauteur devient inférieure à 0,5 m. Vérification : $h_7 = 2 \times 0{,}2097 \approx 0{,}419\,\text{m} < 0{,}5$ .
2
Dans un théâtre, la première rangée (rangée 0) compte 18 sièges. Chaque rangée suivante compte 3 sièges de plus que la précédente. Le théâtre a 25 rangées.
Combien de sièges compte le théâtre en tout ?
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a) On ajoute 3 sièges à chaque rangée : suite arithmétique $u_0 = 18$ , $r = 3$ , donc $u_n = 18 + 3n$ .
b) Il y a 25 rangées numérotées de 0 à 24 : la dernière est la rangée 24.
$u_{24} = 18 + 3 \times 24 = 18 + 72 = 90$ sièges.
c) La somme des sièges est une somme arithmétique de 25 termes, du premier (18) au dernier (90) :
$S = 25 \times \frac{18 + 90}{2} = 25 \times \frac{108}{2} = 25 \times 54 = 1350$ .
Le théâtre compte donc 1350 sièges.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un patient reçoit une dose de 200 mg d'un médicament. Chaque heure, l'organisme élimine 25 % de la quantité présente. On note $u_n$ la quantité (en mg) présente au bout de n heures, avec $u_0 = 200$ .
Au bout de combien d'heures entières la quantité passe-t-elle sous 50 mg ?
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4
On considère la suite arithmétique définie par $u_n = 7 - 4n$ .
Calcule la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .
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5
Deux entreprises proposent un salaire mensuel à Karim. Offre A : 1500 € le premier mois (mois 0), puis $\mathord{}+ 50$ € chaque mois. Offre B : 1400 € le premier mois, puis $\mathord{}+ 3 \%$ chaque mois. On note $a_n$ et $b_n$ les salaires au mois n.
Quelle offre est la plus avantageuse au mois 12 ?
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6
La suite $(u_n)$ est arithmétique. On sait que $u_4 = 14$ et $u_9 = 34$ .
Calcule la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}$ .
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7
Un capital de 2000 € est placé sur un compte rapportant 3 % d'intérêts chaque année (intérêts composés). On note $u_n$ le capital au bout de n années, avec $u_0 = 2000$ .
Calcule le capital au bout de 5 ans, arrondi au centime.
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8
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}5$ et l'on sait que $u_3 = 27$ .
Calcule la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_5$ .
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9
On plante deux jeunes plants le jour 0, tous deux de 10 cm. Le plant A grandit de 4 cm chaque jour (croissance arithmétique). Le plant B grandit de 15 % chaque jour (croissance géométrique). On note $a_n$ et $b_n$ leurs hauteurs (en cm) au jour n.
Montre que le plant B finit par dépasser le plant A, et détermine le premier jour où cela se produit.
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10
La suite $(u_n)$ est géométrique à termes positifs, avec $u_1 = 6$ et $u_3 = 54$ .
Calcule la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_5$ .
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