Calcul intégral et valeur moyenne

Soit $f(x) = x^{2} - 3x$ sur $[0 \,;\, 4]$. Calcule $\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$, puis l'aire totale du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 4$ (valeurs exactes).

Calcule l'aire du domaine compris entre la parabole $y = x^{2}$ et la droite $y = x + 2$.

Une résistance reçoit la puissance $p(t) = 10 - 10\cos(200\pi t)$, en watts, t en secondes. Calcule la puissance active, c'est-à-dire la puissance moyenne sur l'intervalle $[0 \,;\, 0{,}02]$.

Calcule la valeur moyenne de la fonction sinus sur $\left[0 \,;\, \frac{\pi}{3}\right]$ : valeur exacte, puis valeur arrondie au centième.

Détermine le réel $a > 0$ tel que $\int_{0}^{a} 2x\,\mathrm{d}x = 9$.

Soit $k$ un réel et $f(x) = kx^{2}$. Détermine k pour que la valeur moyenne de f sur $[0 \,;\, 3]$ soit égale à 6.

Soit $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2}}\,\mathrm{d}t$ pour $x > 0$. Exprime $F(x)$ sans intégrale, puis calcule $F(4)$ et $F'(x)$.

Un mobile part du repos : sa vitesse vérifie $v(0) = 0$ et son accélération est $a(t) = v'(t) = 6t$, en m/s², pour t en secondes. Détermine $v(t)$, puis calcule la distance parcourue entre $t = 0$ et $t = 4$ s.

Soit $f(x) = 12 - 3x^{2}$ sur $[0 \,;\, 2]$. Calcule sa valeur moyenne μ, puis détermine le réel c de $[0 \,;\, 2]$ tel que $f(c) = \mu$, arrondi au centième.

Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de cosinus et de sinus sur $\left[0 \,;\, \frac{\pi}{4}\right]$ : valeur exacte, puis valeur arrondie au centième.