Calcul intégral et valeur moyenne

🟠 Difficile

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1
Soit $f(x) = x^{2} - 3x$ sur $[0 \,;\, 4]$ . Calcule $\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$ , puis l'aire totale du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 4$ (valeurs exactes).
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$f(x) = x(x - 3)$  : f est négative sur $[0 \,;\, 3]$ et positive sur $[3 \,;\, 4]$ .
Une primitive est $F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2}$ , avec $F(0) = 0$ , $F(3) = 9 - 13{,}5 = -\frac{9}{2}$ , $F(4) = \frac{64}{3} - 24 = -\frac{8}{3}$ .
$\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = F(4) - F(0) = -\frac{8}{3}$ .
Morceaux : $\int_{0}^{3} f = -\frac{9}{2}$ et $\int_{3}^{4} f = -\frac{8}{3} + \frac{9}{2} = \frac{11}{6}$ .
Aire totale : $\frac{9}{2} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{19}{3}$ u.a.
2
Calcule l'aire du domaine compris entre la parabole $y = x^{2}$ et la droite $y = x + 2$ .
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Intersections : $x^{2} = x + 2 \iff x^{2} - x - 2 = 0 \iff (x + 1)(x - 2) = 0$ , soit $x = -1$ ou $x = 2$ .
Sur $[-1 \,;\, 2]$ , $x + 2 - x^{2} = -(x + 1)(x - 2) \ge 0$  : la droite est au-dessus.
$\mathcal{A} = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^{2})\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{2}}{2} + 2x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}$ .
$= \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}$ u.a.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une résistance reçoit la puissance $p(t) = 10 - 10\cos(200\pi t)$ , en watts, t en secondes. Calcule la puissance active, c'est-à-dire la puissance moyenne sur l'intervalle $[0 \,;\, 0{,}02]$ .
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4
Calcule la valeur moyenne de la fonction sinus sur $\left[0 \,;\, \frac{\pi}{3}\right]$  : valeur exacte, puis valeur arrondie au centième.
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5
Détermine le réel $a > 0$ tel que $\int_{0}^{a} 2x\,\mathrm{d}x = 9$ .
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6
Soit $k$ un réel et $f(x) = kx^{2}$ . Détermine k pour que la valeur moyenne de f sur $[0 \,;\, 3]$ soit égale à 6.
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7
Soit $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2}}\,\mathrm{d}t$ pour $x > 0$ . Exprime $F(x)$ sans intégrale, puis calcule $F(4)$ et $F'(x)$ .
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8
Un mobile part du repos : sa vitesse vérifie $v(0) = 0$ et son accélération est $a(t) = v'(t) = 6t$ , en m/s², pour t en secondes. Détermine $v(t)$ , puis calcule la distance parcourue entre $t = 0$ et $t = 4$ s.
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9
Soit $f(x) = 12 - 3x^{2}$ sur $[0 \,;\, 2]$ . Calcule sa valeur moyenne μ, puis détermine le réel c de $[0 \,;\, 2]$ tel que $f(c) = \mu$ , arrondi au centième.
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10
Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de cosinus et de sinus sur $\left[0 \,;\, \frac{\pi}{4}\right]$  : valeur exacte, puis valeur arrondie au centième.
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