Calcul intégral et valeur moyenne

Au démarrage, un moteur reçoit la puissance $p(t) = 300t^{2} - 100t^{3}$, en watts, pour t en secondes dans $[0 \,;\, 3]$.
Calcule la puissance moyenne reçue par le moteur sur $[0 \,;\, 3]$.

On considère $f(x) = x^{2} - 2x$ et $g(x) = -x^{2} + 4x$.
Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de f et de g.

Soit F la fonction définie sur $[0 \,;\, 5]$ par $F(x) = \int_{0}^{x} (t^{2} - 4t + 3)\,\mathrm{d}t$.
Dresse le tableau de variations de F sur $[0 \,;\, 5]$, avec les valeurs exactes.

Une tension alternative vaut $u(t) = 10\cos(100\pi t)$, en volts, de période $T = 0{,}02$ s. Sa valeur efficace U est la racine carrée de la valeur moyenne de $u^{2}$ sur une période. On rappelle que $\cos^{2} a = \frac{1 + \cos(2a)}{2}$.
Calcule la valeur efficace U, en valeur exacte puis arrondie au centième.

Soit $f(x) = x^{2}$ et a un réel strictement positif.
Détermine le réel $a > 0$ pour lequel la valeur moyenne de f sur $[0 \,;\, a]$ vaut 12.

La vitesse d'un ascenseur est $v(t) = -0{,}5t^{2} + 2t$, en m/s, pour t en secondes dans $[0 \,;\, 4]$. Les valeurs approchées sont à arrondir au centième.
Calcule la vitesse moyenne de l'ascenseur sur $[0 \,;\, 4]$, arrondie au centième.

On considère le domaine situé sous la parabole $y = x^{2}$, entre les droites $x = 0$ et $x = 3$.
Détermine le réel c pour lequel la droite $x = c$ partage le domaine en deux parties de même aire, arrondi au centième.

Soit m un réel strictement positif. On considère la parabole $y = x^{2}$ et la droite $y = mx$.
Détermine m pour que l'aire du domaine compris entre la droite $y = mx$ et la parabole $y = x^{2}$ soit égale à 36.

Pour allonger un ressort de a à b mètres, il faut fournir le travail $W = \int_{a}^{b} F(x)\,\mathrm{d}x$, en joules, où $F(x) = 200x$ est la force, en newtons, pour un allongement x.
Détermine l'allongement L, en mètres, pour lequel le travail fourni depuis la position de repos vaut 25 J.

Un signal vaut $u(t) = 5 + 3\sin(100\pi t)$, en volts, pour t en secondes.
Calcule la valeur moyenne de u sur $[0 \,;\, 0{,}005]$, en valeur exacte puis arrondie au centième.