Calcul intégral et valeur moyenne

Au démarrage, un moteur reçoit la puissance $p(t) = 300t^{2} - 100t^{3}$, en watts, pour t en secondes dans $[0 \,;\, 3]$.
a) Justifie que $p(t) \ge 0$ sur $[0 \,;\, 3]$.
b) Calcule l'énergie reçue par le moteur sur $[0 \,;\, 3]$.
c) Calcule la puissance moyenne reçue par le moteur sur $[0 \,;\, 3]$.

On considère $f(x) = x^{2} - 2x$ et $g(x) = -x^{2} + 4x$.
a) Détermine les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
b) Étudie la position relative des deux courbes entre ces points.
c) Calcule l'aire du domaine compris entre les courbes de f et de g.

Soit F la fonction définie sur $[0 \,;\, 5]$ par $F(x) = \int_{0}^{x} (t^{2} - 4t + 3)\,\mathrm{d}t$.
a) Exprime $F(x)$ sans intégrale.
b) Détermine $F'(x)$ et étudie son signe.
c) Dresse le tableau de variations de F sur $[0 \,;\, 5]$, avec les valeurs exactes.

Une tension alternative vaut $u(t) = 10\cos(100\pi t)$, en volts, de période $T = 0{,}02$ s. Sa valeur efficace U est la racine carrée de la valeur moyenne de $u^{2}$ sur une période. On rappelle que $\cos^{2} a = \frac{1 + \cos(2a)}{2}$.
a) Vérifie que $u(t)^{2} = 50 + 50\cos(200\pi t)$.
b) Calcule la valeur moyenne de $u^{2}$ sur $[0 \,;\, 0{,}02]$.
c) Calcule la valeur efficace U, en valeur exacte puis arrondie au centième.

Soit $f(x) = x^{2}$ et a un réel strictement positif.
a) Exprime $\int_{0}^{a} x^{2}\,\mathrm{d}x$ en fonction de a.
b) Exprime la valeur moyenne de f sur $[0 \,;\, a]$ en fonction de a.
c) Détermine le réel $a > 0$ pour lequel la valeur moyenne de f sur $[0 \,;\, a]$ vaut 12.

La vitesse d'un ascenseur est $v(t) = -0{,}5t^{2} + 2t$, en m/s, pour t en secondes dans $[0 \,;\, 4]$. Les valeurs approchées sont à arrondir au centième.
a) Vérifie que $v(0) = v(4) = 0$ et que v est positive sur $[0 \,;\, 4]$.
b) Calcule la hauteur dont l'ascenseur est monté entre $t = 0$ et $t = 4$ s.
c) Calcule la vitesse moyenne de l'ascenseur sur $[0 \,;\, 4]$, arrondie au centième.

On considère le domaine situé sous la parabole $y = x^{2}$, entre les droites $x = 0$ et $x = 3$.
a) Calcule l'aire de ce domaine.
b) Pour c dans $[0 \,;\, 3]$, exprime en fonction de c l'aire de la partie de ce domaine située entre $x = 0$ et $x = c$.
c) Détermine le réel c pour lequel la droite $x = c$ partage le domaine en deux parties de même aire, arrondi au centième.

Soit m un réel strictement positif. On considère la parabole $y = x^{2}$ et la droite $y = mx$.
a) Détermine, en fonction de m, les abscisses des points d'intersection.
b) Exprime en fonction de m l'aire $\mathcal{A}(m)$ du domaine compris entre la droite et la parabole.
c) Détermine m pour que l'aire du domaine compris entre la droite $y = mx$ et la parabole $y = x^{2}$ soit égale à 36.

Pour allonger un ressort de a à b mètres, il faut fournir le travail $W = \int_{a}^{b} F(x)\,\mathrm{d}x$, en joules, où $F(x) = 200x$ est la force, en newtons, pour un allongement x.
a) Calcule le travail fourni pour allonger le ressort de 0 à 0,1 m.
b) Calcule le travail fourni pour passer d'un allongement de 0,1 m à 0,2 m.
c) Détermine l'allongement L, en mètres, pour lequel le travail fourni depuis la position de repos vaut 25 J.

Un signal vaut $u(t) = 5 + 3\sin(100\pi t)$, en volts, pour t en secondes.
a) Détermine la période T de u.
b) Calcule la valeur moyenne de u sur une période.
c) Calcule la valeur moyenne de u sur $[0 \,;\, 0{,}005]$, en valeur exacte puis arrondie au centième.