Composition de fonctions

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = e^{1 - x^{2}}$. Détermine une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1.

Soit g la fonction définie sur ℝ par $g(x) = \ln(x^{2} - 2x + 5)$. Étudie ses variations et détermine la valeur exacte de son minimum.

Calcule l'intégrale $\int_{0}^{1} \frac{x}{(x^{2} + 1)^{2}}\,\mathrm{d}x$.

Calcule la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x\,e^{-x^{2}}$ sur l'intervalle $[0 \,;\, 2]$ : donne la valeur exacte, puis l'arrondi au millième.

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = \ln(1 + e^{x})$. Calcule $f'(x)$, puis montre que $f'(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$.

Donne une primitive sur ℝ de la fonction $f(x) = \frac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}$, puis calcule $\int_{0}^{\ln 3} f(x)\,\mathrm{d}x$.

On cherche une fonction de la forme $f(x) = e^{ax + b}$ qui vérifie $f(0) = e$ et $f'(0) = -2e$. Détermine les réels a et b.

Dérive la fonction g définie sur ℝ par $g(x) = \cos^{3}(2x)$, c'est-à-dire $g(x) = \big(\cos(2x)\big)^{3}$.

Calcule l'intégrale $\int_{0}^{\pi} \sin x\,e^{\cos x}\,\mathrm{d}x$ : donne la valeur exacte, puis l'arrondi au centième.

Une tension vaut $u(t) = 4\sin(50\pi t)$, t en secondes. Calcule sa valeur moyenne sur l'intervalle $[0 \,;\, 0{,}02]$ (une demi-période) : valeur exacte, puis arrondi au centième de volt.