Composition de fonctions

Soit f la fonction définie sur $[0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = x\,e^{-x^{2}/2}$.
a) Calcule $f'(x)$ et factorise-la.
b) Étudie les variations de f sur $[0 \,;\, +\infty[$.
c) Donne la valeur exacte du maximum de f.
d) Calcule l'aire du domaine situé sous la courbe de f entre les abscisses 0 et 2 : valeur exacte, puis arrondi au millième.

La position d'un oscillateur est $x(t) = 3\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$, t en secondes, x en centimètres.
a) Calcule la vitesse $x'(t)$.
b) Calcule l'accélération $x''(t)$.
c) Montre que $x'' + 4x = 0$.
d) Détermine la valeur maximale de la vitesse $x'(t)$, en cm/s.

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est $C(t) = 10t\,e^{-0{,}5t}$, t en heures, C en mg/L.
a) Calcule $C'(t)$ et factorise-la par $e^{-0{,}5t}$.
b) Étudie les variations de C sur $[0 \,;\, +\infty[$.
c) Détermine la concentration maximale, arrondie au centième de mg/L.

Soit f la fonction définie sur $[0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{3x^{2} + 2}{x^{3} + 2x + 1}$.
a) Justifie que $x^{3} + 2x + 1 > 0$ sur $[0 \,;\, +\infty[$.
b) Donne une primitive de f.
c) Calcule $\int_{0}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x$.
d) Calcule la valeur moyenne de f sur $[0 \,;\, 2]$ : valeur exacte, puis arrondi au centième.

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = \frac{1}{(x^{2} + 1)^{2}}$.
a) Écris f sous la forme $v \circ u$ en précisant u et v.
b) Calcule $f'(x)$.
c) Étudie les variations de f sur ℝ.
d) Détermine une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

Soit h la fonction définie sur $[0 \,;\, \pi]$ par $h(t) = e^{\cos(2t)}$.
a) Calcule $h'(t)$.
b) Étudie les variations de h sur $[0 \,;\, \pi]$.
c) Donne les valeurs exactes du maximum et du minimum de h sur $[0 \,;\, \pi]$.
d) Calcule $\int_{0}^{\pi/4} \sin(2t)\,e^{\cos(2t)}\,\mathrm{d}t$ : valeur exacte, puis arrondi au millième.

Soit u et v les fonctions définies par $u(x) = x^{2} - 1$ sur ℝ et $v(x) = \ln x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Détermine l'ensemble des réels x pour lesquels $(v \circ u)(x)$ est défini.
b) Sur $]1 \,;\, +\infty[$, calcule la dérivée de $v \circ u$.
c) Exprime $(u \circ v)(x)$ et calcule sa dérivée sur $]0 \,;\, +\infty[$.
d) Calcule $\int_{2}^{3} \frac{2x}{x^{2} - 1}\,\mathrm{d}x$ : valeur exacte, puis arrondi au millième.

On s'intéresse à la fonction $t \mapsto \sin t\,\cos^{3} t$.
a) Dérive la fonction $g(t) = \cos^{4} t$.
b) Donne une primitive de $t \mapsto \sin t\,\cos^{3} t$ sur ℝ.
c) Calcule $\int_{0}^{\pi/2} \sin t\,\cos^{3} t\,\mathrm{d}t$.
d) Calcule $\int_{0}^{\pi} \sin t\,\cos^{3} t\,\mathrm{d}t$.

Un liquide refroidit selon la loi $\theta(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$, t en minutes, θ en °C.
a) Calcule $\theta'(t)$.
b) Déduis-en le sens de variation de θ.
c) Donne une primitive de θ.
d) Calcule la température moyenne du liquide pendant les 10 premières minutes : valeur exacte, puis arrondi au dixième de degré.

La vitesse d'un mobile est $v(t) = \frac{2t}{t^{2} + 4}$, t en secondes, v en m/s.
a) Calcule $v'(t)$.
b) Détermine l'instant où la vitesse est maximale et la valeur de cette vitesse.
c) Calcule la distance parcourue entre $t = 0$ et $t = 6$, égale à $\int_{0}^{6} v(t)\,\mathrm{d}t$ : valeur exacte, puis arrondi au centième de mètre.