Composition de fonctions

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1
Soit f la fonction définie sur $[0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = x\,e^{-x^{2}/2}$ .
Calcule l'aire du domaine situé sous la courbe de f entre les abscisses 0 et 2 : valeur exacte, puis arrondi au millième.
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a) Produit $x \times e^{u}$ avec $u(x) = -\frac{x^{2}}{2}$ et $u'(x) = -x$ :
$f'(x) = e^{-x^{2}/2} + x \times (-x)e^{-x^{2}/2} = (1 - x^{2})e^{-x^{2}/2}$ .
b) L'exponentielle est positive : f' a le signe de $1 - x^{2}$ . f est croissante sur $[0 \,;\, 1]$ et décroissante sur $[1 \,;\, +\infty[$ .
c) Le maximum est $f(1) = e^{-1/2}$ (environ 0,607).
d) f est positive, et $f = -u'e^{u}$ a pour primitive $-e^{-x^{2}/2}$ .
Aire : $\left[-e^{-x^{2}/2}\right]_{0}^{2} = -e^{-2} + 1 = 1 - e^{-2} \approx 0{,}865$ unité d'aire.
2
La position d'un oscillateur est $x(t) = 3\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$ , t en secondes, x en centimètres.
Détermine la valeur maximale de la vitesse $x'(t)$ , en cm/s.
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a) $x'(t) = 3 \times (-2)\sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = -6\sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$ .
b) $x''(t) = -6 \times 2\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = -12\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$ .
c) $x''(t) + 4x(t) = -12\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) + 12\cos\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 0$ .
d) Le sinus prend toutes les valeurs entre −1 et 1, donc $x'(t)$ prend toutes les valeurs entre −6 et 6.
La vitesse maximale vaut 6 cm/s (atteinte quand $\sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = -1$ ).
3
Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est $C(t) = 10t\,e^{-0{,}5t}$ , t en heures, C en mg/L.
Détermine la concentration maximale, arrondie au centième de mg/L.
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4
Soit f la fonction définie sur $[0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{3x^{2} + 2}{x^{3} + 2x + 1}$ .
Calcule la valeur moyenne de f sur $[0 \,;\, 2]$ : valeur exacte, puis arrondi au centième.
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5
Soit f la fonction définie sur ℝ par $f(x) = \frac{1}{(x^{2} + 1)^{2}}$ .
Détermine une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.
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6
Soit h la fonction définie sur $[0 \,;\, \pi]$ par $h(t) = e^{\cos(2t)}$ .
Calcule $\int_{0}^{\pi/4} \sin(2t)\,e^{\cos(2t)}\,\mathrm{d}t$ : valeur exacte, puis arrondi au millième.
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7
Soit u et v les fonctions définies par $u(x) = x^{2} - 1$ sur ℝ et $v(x) = \ln x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ .
Calcule $\int_{2}^{3} \frac{2x}{x^{2} - 1}\,\mathrm{d}x$ : valeur exacte, puis arrondi au millième.
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8
On s'intéresse à la fonction $t \mapsto \sin t\,\cos^{3} t$ .
Calcule $\int_{0}^{\pi} \sin t\,\cos^{3} t\,\mathrm{d}t$ .
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9
Un liquide refroidit selon la loi $\theta(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$ , t en minutes, θ en °C.
Calcule la température moyenne du liquide pendant les 10 premières minutes : valeur exacte, puis arrondi au dixième de degré.
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10
La vitesse d'un mobile est $v(t) = \frac{2t}{t^{2} + 4}$ , t en secondes, v en m/s.
Calcule la distance parcourue entre $t = 0$ et $t = 6$ , égale à $\int_{0}^{6} v(t)\,\mathrm{d}t$ : valeur exacte, puis arrondi au centième de mètre.
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