Équations différentielles

🟠 Difficile

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1
La fonction y vérifie $y' = -0{,}5y + 10$ et $y(0) = 0$ . Détermine y, puis l'instant t où $y(t) = 15$ : donne la valeur exacte puis l'arrondi au centième.
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Solution constante : $0 = -0{,}5k + 10$ , donc $k = 20$ .
Solutions : $y(t) = 20 + Ce^{-0{,}5t}$ ; $y(0) = 0$ donne $C = -20$ .
Donc $y(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)$ .
$y(t) = 15 \iff 20e^{-0{,}5t} = 5 \iff e^{-0{,}5t} = 0{,}25$ .
On passe au logarithme : $-0{,}5t = \ln 0{,}25 = -\ln 4$ , donc $t = 2\ln 4 = 4\ln 2$ .
Valeur exacte : $t = 4\ln 2$ ; arrondi au centième : $t \approx 2{,}77$ .
2
Le césium 137 a une demi-vie de 30 ans : le nombre de noyaux, qui vérifie $N' = -\lambda N$ , est divisé par 2 en 30 ans. Détermine la valeur exacte de λ, puis son arrondi au dix-millième.
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Les solutions sont $N(t) = N_{0}e^{-\lambda t}$ , avec $N_{0} = N(0)$ .
La demi-vie donne $N(30) = \frac{N_{0}}{2}$ , soit $e^{-30\lambda} = \frac{1}{2}$ .
Donc $-30\lambda = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2$ .
Valeur exacte : $\lambda = \frac{\ln 2}{30}$ par an.
Arrondi au dix-millième : $\lambda \approx 0{,}0231$ par an.
3
Une boisson chaude à 85 °C est posée dans une pièce à 25 °C. Sa température vérifie $T' = -0{,}1(T - 25)$ , t en minutes. Détermine $T(t)$ , puis calcule la température au bout de 10 minutes, arrondie au dixième de degré.
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4
La fonction f définie sur ℝ par $f(x) = 3 - e^{-2x}$ est solution d'une équation différentielle de la forme $y' = ay + b$ . Détermine les réels a et b.
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5
On applique la méthode d'Euler à l'équation $y' = -y$ avec $y(0) = 1$ , sur $[0 \,;\, 1]$ , avec un pas $h = 0{,}1$ . Montre que $y_{n+1} = 0{,}9\,y_{n}$ , puis calcule la valeur approchée de $y(1)$ obtenue, arrondie au millième, et compare-la à la valeur exacte arrondie au millième.
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6
La vitesse v (en m/s) d'une bille qui tombe dans un liquide vérifie $v' = -2v + 9{,}8$ , t en secondes, avec $v(0) = 0$ . Détermine $v(t)$ et la vitesse limite, puis l'instant où la bille atteint 90 % de cette vitesse limite, arrondi au centième de seconde.
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7
Une solution f de l'équation différentielle $y' = ay + 4$ vérifie $f(0) = 1$ , et elle tend vers 8 en $+\infty$ . Détermine le réel a, puis l'expression de $f(x)$ .
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8
Le carbone 14 a une demi-vie de 5 730 ans. Un os ne contient plus que 40 % du carbone 14 qu'il contenait à la mort de l'animal, le nombre de noyaux vérifiant $N' = -\lambda N$ . Détermine l'âge de l'os, arrondi à la centaine d'années.
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9
Une population de bactéries vérifie $N' = kN$ , t en heures. On compte 1 000 bactéries à $t = 0$ et 8 000 à $t = 3$ . Détermine la valeur exacte de k, puis l'instant où la population atteint un million de bactéries, arrondi au centième d'heure.
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10
Une solution f de l'équation différentielle $y' = ay$ vérifie $f(1) = 6$ et $f(3) = 54$ . Détermine le réel a et l'expression de $f(x)$ .
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