Équations différentielles

🟡 Moyen

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1
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = -3y + 9$ qui vérifie $y(0) = 5$ .
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Solution constante : $0 = -3k + 9$ , donc $k = 3$ .
Les solutions sont $y(x) = Ce^{-3x} + 3$ , C réel.
Condition initiale : $y(0) = C + 3 = 5$ , donc $C = 2$ .
La solution cherchée est $y(x) = 2e^{-3x} + 3$ .
2
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = y$ dont la courbe passe par le point $A(1 \,;\, 2)$ .
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Les solutions de $y' = y$ sont les fonctions $y(x) = Ce^{x}$ .
La courbe passe par A signifie $y(1) = 2$ , soit $Ce^{1} = 2$ .
Donc $C = \frac{2}{e}$ , et $y(x) = \frac{2}{e}e^{x} = 2e^{x - 1}$ .
Contrôle : $y(1) = 2e^{0} = 2$ .
Piège : la condition n'est pas donnée en 0, on ne peut donc pas écrire directement $C = 2$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Résous sur ℝ l'équation différentielle $4y' + 2y = 0$ .
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4
On considère l'équation différentielle $3y' = 6y + 9$ . Détermine toutes ses solutions, puis celle qui vérifie $y(0) = 1$ .
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5
Vérifie que la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \sin(3x)$ est solution de l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$ .
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6
Un échantillon contient au départ 8 000 noyaux radioactifs. Le nombre de noyaux vérifie $N' = -0{,}1N$ , t en années. Détermine $N(t)$ , puis calcule le nombre de noyaux restant au bout de 10 ans, arrondi à l'unité.
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7
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = -2y$ qui vérifie $y(1) = 3$ .
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8
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = -0{,}1y + 2$ qui vérifie $y(0) = 50$ , puis sa limite en $+\infty$ .
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9
Une solution f de l'équation différentielle $y' = ay$ vérifie $f(0) = 10$ et $f(2) = 40$ . Détermine la valeur exacte du réel a.
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10
La tension u (en volts) aux bornes d'un condensateur qui se charge vérifie $u' = -50u + 250$ , t en secondes, avec $u(0) = 0$ . Détermine $u(t)$ , puis calcule $u(0{,}02)$ arrondi au centième de volt.
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