Équations différentielles

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1
Donne toutes les solutions sur ℝ de l'équation différentielle $y' = 7y$ .
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L'équation est de la forme $y' = ay$ avec $a = 7$ .
Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \mapsto Ce^{ax}$ , où C est une constante réelle.
Donc les solutions sont les fonctions $y(x) = Ce^{7x}$ , C réel.
Contrôle : $\left(Ce^{7x}\right)' = 7Ce^{7x} = 7y$ .
2
Vérifie que la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = 5e^{-x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -y$ .
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On dérive : $f'(x) = 5 \times (-1)e^{-x} = -5e^{-x}$ .
On calcule $-f(x) = -5e^{-x}$ .
Pour tout réel x, $f'(x) = -f(x)$ .
Donc f est bien solution de $y' = -y$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Le nombre N de noyaux d'un échantillon radioactif vérifie $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -0{,}2N$ , t en années. Donne toutes les solutions de cette équation différentielle.
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4
Écris l'équation différentielle $y' - 3y = 0$ sous la forme $y' = ay$ , puis donne toutes ses solutions sur ℝ.
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5
Détermine la solution constante de l'équation différentielle $y' = -4y + 12$ .
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6
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = -y$ qui vérifie $y(0) = 6$ .
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7
Détermine toutes les solutions sur ℝ de l'équation différentielle $y' = 2y - 8$ .
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8
Vérifie que la fonction g définie sur ℝ par $g(x) = e^{3x} + 2$ est solution de l'équation différentielle $y' = 3y - 6$ .
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9
La fonction h définie sur ℝ par $h(x) = 2e^{4x}$ est-elle solution de l'équation différentielle $y' = 2y$  ? Justifie.
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10
Détermine la solution de l'équation différentielle $y' = 0{,}5y + 1$ qui vérifie $y(0) = 0$ .
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