Équations différentielles

Un condensateur, chargé sous 10 V, se décharge dans une résistance. La tension u à ses bornes vérifie $0{,}5\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + u = 0$, t en secondes, avec $u(0) = 10$.
a) Écris l'équation sous la forme $u' = au$.
b) Détermine $u(t)$.
c) Calcule $u(1)$ arrondi au centième de volt.
d) Détermine l'instant où la tension aux bornes du condensateur vaut 1 V : valeur exacte, puis arrondi au centième de seconde.

Un patient reçoit un médicament par perfusion. La quantité Q (en mg) de médicament dans le sang vérifie $Q' = -0{,}25Q + 5$, t en heures, avec $Q(0) = 0$.
a) Détermine la solution constante de cette équation.
b) Détermine $Q(t)$.
c) Détermine la limite de Q en $+\infty$.
d) Au bout de combien de temps la quantité de médicament atteint-elle 18 mg ? Donne la valeur exacte puis l'arrondi au centième d'heure.

Le radon 222 est un gaz radioactif de demi-vie 3,8 jours. Le nombre de noyaux vérifie $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$, t en jours, avec $N(0) = N_{0}$.
a) Exprime $N(t)$ en fonction de $N_{0}$, λ et t.
b) Calcule λ : valeur exacte, puis arrondi au dix-millième.
c) Calcule le pourcentage de noyaux restant au bout de 10 jours, arrondi au dixième.
d) Au bout de combien de jours entiers reste-t-il moins de 5 % des noyaux de radon ?

Un gâteau sort du four à 180 °C dans une cuisine à 20 °C. Sa température vérifie $T' = k(T - 20)$, t en minutes, où k est une constante. Au bout de 10 minutes, le gâteau est à 100 °C.
a) Détermine les solutions de l'équation en fonction de k.
b) Détermine l'expression de $T(t)$ vérifiant $T(0) = 180$.
c) Calcule la valeur exacte de k.
d) Au bout de combien de minutes le gâteau est-il à 30 °C ?

On étudie l'équation différentielle d'ordre 2 $y'' + 4y = 0$, celle d'un oscillateur.
a) Vérifie que les fonctions $x \mapsto \cos(2x)$ et $x \mapsto \sin(2x)$ sont solutions.
b) Montre que la fonction $f(x) = 3\cos(2x) - \sin(2x)$ est aussi solution.
c) Détermine les réels a et b tels que la fonction $g(x) = a\cos(2x) + b\sin(2x)$ vérifie $g(0) = 1$ et $g'(0) = 4$.

On approche la solution de $y' = y$, $y(0) = 1$, par la méthode d'Euler sur $[0 \,;\, 1]$.
a) Avec un pas $h = 0{,}2$, montre que $y_{k+1} = 1{,}2\,y_{k}$.
b) Calcule la valeur approchée de $y(1)$ obtenue avec ce pas, arrondie au millième.
c) Calcule l'écart avec la valeur exacte $e$, arrondi au millième.
d) Avec n pas de longueur $\frac{1}{n}$, la méthode donne $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$. Détermine le plus petit entier n pour lequel $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$ dépasse 2,7.

En cinétique chimique, la concentration $c(t)$ (en mol/L) d'un réactif vérifie $c' = -kc$, t en minutes, avec $c(0) = 0{,}5$. Au bout de 20 minutes, $c = 0{,}2$ mol/L.
a) Exprime $c(t)$ en fonction de k.
b) Détermine la valeur exacte de k, puis son arrondi au dix-millième.
c) Calcule le temps de demi-réaction, instant où la concentration est divisée par 2, arrondi au dixième de minute.
d) Calcule la concentration au bout d'une heure.

En dynamique des populations, on utilise l'équation différentielle non linéaire $y' = y(1 - y)$. On considère la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Vérifie que f est solution de l'équation $y' = y(1 - y)$.
c) Calcule $f(0)$ et justifie que f est croissante sur ℝ.
d) Détermine les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$.

Un condensateur de capacité 400 µF, placé en série avec une résistance de 5 kΩ, est chargé par un générateur de tension E = 6 V. La tension u à ses bornes vérifie $RC\,u' + u = E$, t en secondes. À $t = 0$, il est déjà chargé sous 2 V.
a) Calcule RC et montre que $u' = -0{,}5u + 3$.
b) Détermine $u(t)$.
c) Calcule la tension au bout d'une constante de temps $\tau = RC$, arrondie au centième.
d) Au bout de combien de temps la tension atteint-elle 5,9 V ? Donne la valeur exacte puis l'arrondi au centième de seconde.

Dans un lac, une population de poissons croît naturellement mais subit une pêche régulière. Elle vérifie $P' = 0{,}02P - 30$, t en années, P en poissons.
a) Détermine la solution constante de cette équation.
b) Détermine la solution vérifiant $P(0) = 2000$ et sa limite en $+\infty$.
c) On suppose maintenant $P(0) = 1000$. Détermine au bout de combien d'années la population de poissons s'éteint : valeur exacte, puis arrondi au dixième.