Équations différentielles

Un condensateur, chargé sous 10 V, se décharge dans une résistance. La tension u à ses bornes vérifie $0{,}5\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + u = 0$, t en secondes, avec $u(0) = 10$.
Détermine l'instant où la tension aux bornes du condensateur vaut 1 V : valeur exacte, puis arrondi au centième de seconde.

Un patient reçoit un médicament par perfusion. La quantité Q (en mg) de médicament dans le sang vérifie $Q' = -0{,}25Q + 5$, t en heures, avec $Q(0) = 0$.
Au bout de combien de temps la quantité de médicament atteint-elle 18 mg ? Donne la valeur exacte puis l'arrondi au centième d'heure.

Le radon 222 est un gaz radioactif de demi-vie 3,8 jours. Le nombre de noyaux vérifie $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N$, t en jours, avec $N(0) = N_{0}$.
Au bout de combien de jours entiers reste-t-il moins de 5 % des noyaux de radon ?

Un gâteau sort du four à 180 °C dans une cuisine à 20 °C. Sa température vérifie $T' = k(T - 20)$, t en minutes, où k est une constante. Au bout de 10 minutes, le gâteau est à 100 °C.
Au bout de combien de minutes le gâteau est-il à 30 °C ?

On étudie l'équation différentielle d'ordre 2 $y'' + 4y = 0$, celle d'un oscillateur.
Détermine les réels a et b tels que la fonction $g(x) = a\cos(2x) + b\sin(2x)$ vérifie $g(0) = 1$ et $g'(0) = 4$.

On approche la solution de $y' = y$, $y(0) = 1$, par la méthode d'Euler sur $[0 \,;\, 1]$.
Avec n pas de longueur $\frac{1}{n}$, la méthode donne $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$. Détermine le plus petit entier n pour lequel $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$ dépasse 2,7.

En cinétique chimique, la concentration $c(t)$ (en mol/L) d'un réactif vérifie $c' = -kc$, t en minutes, avec $c(0) = 0{,}5$. Au bout de 20 minutes, $c = 0{,}2$ mol/L.
Calcule la concentration au bout d'une heure.

En dynamique des populations, on utilise l'équation différentielle non linéaire $y' = y(1 - y)$. On considère la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$.
Détermine les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$.

Un condensateur de capacité 400 µF, placé en série avec une résistance de 5 kΩ, est chargé par un générateur de tension E = 6 V. La tension u à ses bornes vérifie $RC\,u' + u = E$, t en secondes. À $t = 0$, il est déjà chargé sous 2 V.
Au bout de combien de temps la tension atteint-elle 5,9 V ? Donne la valeur exacte puis l'arrondi au centième de seconde.

Dans un lac, une population de poissons croît naturellement mais subit une pêche régulière. Elle vérifie $P' = 0{,}02P - 30$, t en années, P en poissons.
On suppose maintenant $P(0) = 1000$. Détermine au bout de combien d'années la population de poissons s'éteint : valeur exacte, puis arrondi au dixième.