La fonction exponentielle

🟠 Difficile

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1
Soit $f(x) = (3 - x)e^{x}$ sur ℝ. Étudie les variations de f et donne son maximum, en valeur exacte puis arrondi au centième.
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$f'(x) = -e^{x} + (3 - x)e^{x} = (2 - x)e^{x}$ , du signe de $2 - x$ car $e^{x} > 0$ .
f est croissante sur $]-\infty \,;\, 2]$ et décroissante sur $[2 \,;\, +\infty[$ .
Maximum : $f(2) = e^{2} \approx 7{,}39$ .
2
Soit $g(x) = \dfrac{e^{x}}{x + 1}$ sur $]-1 \,;\, +\infty[$ . Calcule $g'(x)$ et étudie les variations de g.
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Quotient : $g'(x) = \frac{e^{x}(x + 1) - e^{x} \times 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{xe^{x}}{(x + 1)^{2}}$ .
$e^{x} > 0$ et $(x + 1)^{2} > 0$  : g′ a le signe de x.
g est décroissante sur $]-1 \,;\, 0]$ et croissante sur $[0 \,;\, +\infty[$ , de minimum $g(0) = 1$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Détermine $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(e^{x} - x^{3}\right)$ .
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4
Détermine $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^{x}$ .
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5
En posant $X = e^{x}$ , résous dans ℝ l'équation $e^{2x} - (e + 1)e^{x} + e = 0$ .
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6
Le nombre de noyaux d'un échantillon radioactif est $N(t) = 8000e^{-0{,}05t}$ , t en années. Calcule $N'(0)$ et interprète, puis calcule $N(20)$ arrondi à l'unité.
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7
Soit $f(x) = xe^{x}$ . Détermine l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1.
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8
Résous dans ℝ l'inéquation $e^{x^{2} - 1} \le e^{3}$ .
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9
La température d'une boisson est $T(t) = 25 + 65e^{-0{,}1t}$ , en °C, t en minutes. Calcule la vitesse de variation de la température à l'instant 0, puis la température au bout de 10 minutes, arrondie au dixième.
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10
Détermine $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^{2} + 1}{e^{x}}$ .
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