La fonction exponentielle

Un condensateur se décharge : la tension à ses bornes est $u(t) = 12e^{-5t}$, en volts, t en secondes.
a) Calcule $u'(t)$ et déduis-en le sens de variation de u.
b) Détermine l'équation de la tangente à la courbe de u à l'origine des temps et l'instant où elle coupe l'axe des abscisses.
c) Quel pourcentage de la tension initiale reste-t-il à l'instant $t = 1$ s ? Arrondis au centième de pour cent.

Soit $f(x) = (x^{2} + x - 1)e^{x}$ sur ℝ. Les valeurs approchées sont à arrondir au millième.
a) Montre que $f'(x) = x(x + 3)e^{x}$.
b) Étudie le signe de $f'(x)$.
c) Dresse le tableau de variations de f sur ℝ, avec les extremums et les limites en $-\infty$ et en $+\infty$.

Après la prise d'un comprimé, la concentration d'un médicament dans le sang est $C(t) = 10te^{-0{,}5t}$, en mg/L, t en heures.
a) Montre que $C'(t) = 5(2 - t)e^{-0{,}5t}$.
b) Détermine la limite de C en $+\infty$.
c) À quel instant la concentration est-elle maximale ? Donne ce maximum en valeur exacte, puis arrondi au centième.

Dans un circuit RC, la tension aux bornes du condensateur est $u(t) = 9\left(1 - e^{-100t}\right)$, en volts, t en secondes.
a) Détermine la tension finale E et la constante de temps τ.
b) Détermine l'équation de la tangente à l'origine.
c) À l'aide de la calculatrice, détermine la durée minimale, arrondie à la milliseconde supérieure, au bout de laquelle la tension atteint 99 % de E.

Soit $f(x) = e^{2x} - 2e \times e^{x}$ sur ℝ.
a) Montre que $f'(x) = 2e^{x}\left(e^{x} - e\right)$.
b) Étudie le signe de $f'(x)$.
c) Dresse le tableau de variations de f sur ℝ, avec la valeur exacte du minimum et les limites en $-\infty$ et en $+\infty$.

Une tasse de thé refroidit dans une pièce à 20 °C : sa température est $T(t) = 20 + 70e^{-kt}$, en °C, t en minutes, où k est un réel strictement positif. Au moment où le thé est servi, il perd 3,5 °C par minute.
a) Exprime $T'(t)$ en fonction de k.
b) Détermine k.
c) Calcule la température du thé au bout de 20 minutes, arrondie au dixième.

Soit $h(x) = (2x + 3)e^{-x} + 1$ sur ℝ.
a) Détermine la limite de h en $+\infty$ et interprète graphiquement.
b) Détermine la limite de h en $-\infty$.
c) Dresse le tableau de variations de h sur ℝ, avec le maximum en valeur exacte puis arrondi au centième.

Une population de bactéries compte $N(t) = 500e^{0{,}4t}$ individus, t en heures.
a) Montre que $N'(t) = 0{,}4N(t)$ et interprète.
b) Calcule $N(5)$, arrondi à l'unité.
c) À l'aide de la calculatrice, détermine au bout de combien d'heures entières la population dépasse pour la première fois 10 000 bactéries.

On compare $e^{n}$ et $n^{4}$ pour les entiers $n \ge 2$.
a) Détermine $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x}}{x^{4}}$.
b) Calcule, à l'unité près, $e^{2}$, $e^{3}$, $e^{8}$ et $e^{9}$, et compare-les à $2^{4}$, $3^{4}$, $8^{4}$ et $9^{4}$.
c) Détermine le plus petit entier $n \ge 2$ pour lequel $e^{n} > n^{4}$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes de $f(x) = e^{x}$ et $g(x) = e^{2 - x}$, et $T_{1}$ et $T_{2}$ leurs tangentes respectives au point d'abscisse 1.
a) Résous l'équation $f(x) = g(x)$, puis l'inéquation $f(x) > g(x)$.
b) Détermine les équations de $T_{1}$ et de $T_{2}$.
c) Calcule l'aire du triangle formé par $T_{1}$, $T_{2}$ et l'axe des abscisses, en valeur exacte puis arrondie au centième.