Intégrale et aire sous la courbe

🟠 Difficile

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1
On considère $I = \int_{1}^{3} (x^{2} + 1)\,\mathrm{d}x$ . Avec 4 rectangles de même largeur, calcule la somme des aires des rectangles à gauche, puis à droite, et donne un encadrement de I.
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Largeur : $\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0{,}5$ . Points utiles : 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3.
Valeurs : $f(1) = 2$ , $f(1{,}5) = 3{,}25$ , $f(2) = 5$ , $f(2{,}5) = 7{,}25$ , $f(3) = 10$ .
À gauche : $0{,}5 \times (2 + 3{,}25 + 5 + 7{,}25) = 0{,}5 \times 17{,}5 = 8{,}75$ .
À droite : $0{,}5 \times (3{,}25 + 5 + 7{,}25 + 10) = 0{,}5 \times 25{,}5 = 12{,}75$ .
f est croissante sur $[1 \,;\, 3]$ : les rectangles à gauche restent sous la courbe, ceux à droite la dépassent.
Donc $8{,}75 \le I \le 12{,}75$ .
2
Soit $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ sur $[0 \,;\, 2]$ . Justifie que la courbe de f est un quart de cercle, puis calcule $\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ : valeur exacte, puis valeur arrondie au centième.
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Si $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ , alors $y \ge 0$ et $y^{2} = 4 - x^{2}$ , soit $x^{2} + y^{2} = 4$ : le point est sur le cercle de centre O et de rayon 2.
Pour x dans $[0 \,;\, 2]$ et $y \ge 0$ , on décrit le quart de ce cercle situé dans le quart de plan $x \ge 0$ , $y \ge 0$ .
f est positive : l'intégrale est l'aire du quart de disque, $\frac{\pi \times 2^{2}}{4} = \pi$ .
$\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}}\,\mathrm{d}x = \pi \approx 3{,}14$ .
3
La courbe de $x \mapsto x^{3}$ est symétrique par rapport à l'origine. Calcule $\int_{-2}^{2} (x^{3} + 5)\,\mathrm{d}x$ .
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4
La puissance d'un four monte de façon affine de 0 à 3000 W en 5 minutes, reste à 3000 W pendant 15 minutes, puis redescend de façon affine jusqu'à 0 en 10 minutes. Calcule l'énergie consommée, en joules puis en kilowattheures ( $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}$ J).
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5
On sait que $\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ et $\int_{6}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 2$ . Calcule $\int_{1}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x$ .
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6
Soit $g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ sur $[1 \,;\, 3]$ et $J = \int_{1}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$ . Étudie les variations de g, puis déduis-en un encadrement de J.
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7
Pour estimer $\int_{0}^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x$ , on tire 10 000 points au hasard dans le rectangle $[0 \,;\, \pi] \times [0 \,;\, 1]$ ; 6 370 tombent sous la courbe de la fonction sinus. Donne l'estimation obtenue, arrondie au centième.
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8
Sans calcul, donne le signe de $\int_{1}^{4} (-x^{2} - 1)\,\mathrm{d}x$ , puis celui de $\int_{4}^{1} (-x^{2} - 1)\,\mathrm{d}x$ . Justifie.
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9
On sait que $\int_{0}^{3} \big(f(x) + g(x)\big)\,\mathrm{d}x = 10$ et $\int_{0}^{3} \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x = 4$ . Détermine $\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\int_{0}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x$ .
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10
Dans un repère, 1 unité vaut 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. Calcule $\int_{0}^{4} \left(\frac{x}{2} + 1\right)\mathrm{d}x$ , puis l'aire correspondante en cm².
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