Intégrale et aire sous la courbe

Un train freine : sa vitesse, en m/s, est $v(t) = 40 - 0{,}5t$, pour t en secondes, jusqu'à l'arrêt.
Calcule la distance parcourue par le train pendant les 20 dernières secondes du freinage.

On recharge une batterie : l'intensité vaut 2 A pendant 30 minutes, puis décroît de façon affine jusqu'à 0 A en 30 minutes. La charge reçue est l'intégrale de l'intensité, t étant exprimé en secondes.
Calcule la charge totale reçue, en coulombs puis en ampères-heures ($1\ \text{Ah} = 3600$ C).

On approche $\int_{0}^{2} 3x\,\mathrm{d}x$ par n rectangles de même largeur, hauteur prise à droite ; on note $S_{n}$ la somme de leurs aires. On admet que $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
Vers quelle valeur $S_{n}$ se rapproche-t-elle quand n devient très grand ? Quelle aire obtient-on ainsi ?

La fonction f est définie sur $[0 \,;\, 8]$ par $f(x) = 4 - x$ sur $[0 \,;\, 6]$ et $f(x) = x - 8$ sur $[6 \,;\, 8]$.
Calcule l'aire totale, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 8$.

On étudie $I = \int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles, avec n rectangles de même largeur. Les valeurs approchées sont à arrondir au dix-millième.
Détermine le plus petit nombre n de rectangles pour lequel l'écart entre la somme à gauche et la somme à droite est inférieur ou égal à 0,01.

Une pompe à chaleur a une puissance, en kW, qui augmente de façon affine de 0 à 2 kW entre $t = 0$ et $t = 1$ h, reste égale à 2 kW jusqu'à $t = 4$ h, décroît de façon affine jusqu'à 0,5 kW à $t = 6$ h, puis reste égale à 0,5 kW jusqu'à $t = 8$ h. L'énergie, en kWh, est l'intégrale de la puissance, t en heures.
Le kWh coûte 0,25 €. Calcule le coût de fonctionnement sur ces 8 heures, arrondi au centime près.

Soit $g(x) = x^{3} - 4x$ sur $[-3 \,;\, 3]$.
Calcule $\int_{-3}^{3} (x^{3} - 4x + 2)\,\mathrm{d}x$.

Pour estimer π, on tire au hasard 5000 points dans le carré $[0 \,;\, 1] \times [0 \,;\, 1]$ et on compte ceux qui vérifient $x^{2} + y^{2} \le 1$ : on en trouve 3927.
Donne l'estimation de π obtenue, arrondie au millième.

On veut encadrer $I = \int_{0}^{2} t^{2}\,\mathrm{d}t$ sans connaître de primitive.
Donne un encadrement de $I = \int_{0}^{2} t^{2}\,\mathrm{d}t$.

On remplit une cuve de 100 L. Le débit, en L/min, augmente de façon affine de 0 à 12 L/min pendant les 4 premières minutes, reste à 12 L/min jusqu'à $t = 10$ min, puis diminue selon $d(t) = 12 - 4(t - 10)$ jusqu'à s'annuler. Le volume versé est l'intégrale du débit.
À quel instant la cuve est-elle pleine ? Donne la réponse arrondie au centième de minute.