Intégrale et aire sous la courbe

Un train freine : sa vitesse, en m/s, est $v(t) = 40 - 0{,}5t$, pour t en secondes, jusqu'à l'arrêt.
a) Détermine l'instant où le train s'arrête.
b) Calcule la distance de freinage.
c) Calcule la distance parcourue par le train pendant les 20 dernières secondes du freinage.

On recharge une batterie : l'intensité vaut 2 A pendant 30 minutes, puis décroît de façon affine jusqu'à 0 A en 30 minutes. La charge reçue est l'intégrale de l'intensité, t étant exprimé en secondes.
a) Calcule la charge reçue pendant les 30 premières minutes.
b) Calcule la charge reçue pendant les 30 minutes suivantes.
c) Calcule la charge totale reçue, en coulombs puis en ampères-heures ($1\ \text{Ah} = 3600$ C).

On approche $\int_{0}^{2} 3x\,\mathrm{d}x$ par n rectangles de même largeur, hauteur prise à droite ; on note $S_{n}$ la somme de leurs aires. On admet que $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
a) Calcule $S_{4}$.
b) Montre que $S_{n} = \dfrac{6(n + 1)}{n}$.
c) Vers quelle valeur $S_{n}$ se rapproche-t-elle quand n devient très grand ? Quelle aire obtient-on ainsi ?

La fonction f est définie sur $[0 \,;\, 8]$ par $f(x) = 4 - x$ sur $[0 \,;\, 6]$ et $f(x) = x - 8$ sur $[6 \,;\, 8]$.
a) Étudie le signe de f sur $[0 \,;\, 8]$.
b) Calcule $\int_{0}^{8} f(x)\,\mathrm{d}x$.
c) Calcule l'aire totale, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 8$.

On étudie $I = \int_{1}^{2} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ par la méthode des rectangles, avec n rectangles de même largeur. Les valeurs approchées sont à arrondir au dix-millième.
a) Pour $n = 4$, calcule la somme à gauche et la somme à droite.
b) Justifie que I est compris entre ces deux sommes.
c) Détermine le plus petit nombre n de rectangles pour lequel l'écart entre la somme à gauche et la somme à droite est inférieur ou égal à 0,01.

Une pompe à chaleur a une puissance, en kW, qui augmente de façon affine de 0 à 2 kW entre $t = 0$ et $t = 1$ h, reste égale à 2 kW jusqu'à $t = 4$ h, décroît de façon affine jusqu'à 0,5 kW à $t = 6$ h, puis reste égale à 0,5 kW jusqu'à $t = 8$ h. L'énergie, en kWh, est l'intégrale de la puissance, t en heures.
a) Calcule l'énergie consommée entre $t = 0$ et $t = 4$ h.
b) Calcule l'énergie consommée entre $t = 4$ h et $t = 8$ h.
c) Le kWh coûte 0,25 €. Calcule le coût de fonctionnement sur ces 8 heures, arrondi au centime près.

Soit $g(x) = x^{3} - 4x$ sur $[-3 \,;\, 3]$.
a) Montre que, pour tout réel x, $g(-x) = -g(x)$.
b) Explique pourquoi $\int_{-3}^{3} g(x)\,\mathrm{d}x = 0$.
c) Calcule $\int_{-3}^{3} (x^{3} - 4x + 2)\,\mathrm{d}x$.

Pour estimer π, on tire au hasard 5000 points dans le carré $[0 \,;\, 1] \times [0 \,;\, 1]$ et on compte ceux qui vérifient $x^{2} + y^{2} \le 1$ : on en trouve 3927.
a) Justifie que les points vérifiant $x^{2} + y^{2} \le 1$ dans ce carré forment un quart de disque d'aire $\frac{\pi}{4}$.
b) Explique pourquoi la proportion de points comptés approche $\frac{\pi}{4}$.
c) Donne l'estimation de π obtenue, arrondie au millième.

On veut encadrer $I = \int_{0}^{2} t^{2}\,\mathrm{d}t$ sans connaître de primitive.
a) Justifie que, pour tout t de $[0 \,;\, 2]$, $2t - 1 \le t^{2} \le 2t$.
b) Calcule $\int_{0}^{2} 2t\,\mathrm{d}t$ et $\int_{0}^{2} (2t - 1)\,\mathrm{d}t$ à l'aide d'aires.
c) Donne un encadrement de $I = \int_{0}^{2} t^{2}\,\mathrm{d}t$.

On remplit une cuve de 100 L. Le débit, en L/min, augmente de façon affine de 0 à 12 L/min pendant les 4 premières minutes, reste à 12 L/min jusqu'à $t = 10$ min, puis diminue selon $d(t) = 12 - 4(t - 10)$ jusqu'à s'annuler. Le volume versé est l'intégrale du débit.
a) Calcule le volume versé à l'instant $t = 4$ min, puis à l'instant $t = 10$ min.
b) Calcule le volume versé au total.
c) À quel instant la cuve est-elle pleine ? Donne la réponse arrondie au centième de minute.