Intégrale et aire sous la courbe

Calcule $\int_{0}^{4} (2x + 1)\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'une aire.

Soit $f(x) = 2x - 4$ sur $[0 \,;\, 6]$. Calcule $\int_{0}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x$, puis l'aire totale, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 6$.

On sait que $\int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = -3$ et $\int_{2}^{5} g(x)\,\mathrm{d}x = 7$. Calcule $\int_{2}^{5} \big(4f(x) + 2g(x)\big)\,\mathrm{d}x$.

On sait que $\int_{0}^{8} f(x)\,\mathrm{d}x = 10$ et $\int_{5}^{8} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$. Calcule $\int_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$, puis $\int_{5}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Pour tout x de $[2 \,;\, 5]$, on a $3 \le f(x) \le 7$. Donne un encadrement de $I = \int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x$.

Dans un circuit, l'intensité i décroît de façon affine de 6 A à 2 A en 8 secondes. La charge transportée est $Q = \int_{0}^{8} i(t)\,\mathrm{d}t$. Calcule Q en coulombs.

Une voiture démarre : sa vitesse passe de façon affine de 0 à 30 m/s en 10 secondes, puis reste égale à 30 m/s pendant 20 secondes. La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse. Calcule la distance parcourue pendant ces 30 secondes.

Pour estimer $\int_{0}^{3} x^{2}\,\mathrm{d}x$, on tire 2000 points au hasard dans le rectangle $[0 \,;\, 3] \times [0 \,;\, 9]$ ; 662 d'entre eux tombent sous la courbe de $y = x^{2}$. Donne l'estimation de l'intégrale obtenue par la méthode de Monte-Carlo, arrondie au centième.

Sans calculer les intégrales, justifie que $\int_{1}^{2} x^{3}\,\mathrm{d}x \ge \int_{1}^{2} x^{2}\,\mathrm{d}x$.

La fonction f est définie sur $[0 \,;\, 6]$ par $f(x) = x + 1$ sur $[0 \,;\, 2]$ et $f(x) = 3$ sur $[2 \,;\, 6]$. Calcule $\int_{0}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x$.