Le logarithme népérien

Résous l'équation $\ln(x - 1) = 2$ en précisant son domaine. Donne la valeur exacte de la solution, puis sa valeur arrondie au millième.

Résous dans ℝ l'inéquation $e^{-0{,}3x} \le 0{,}2$. Donne la borne en valeur exacte, puis arrondie au centième.

En posant $X = \ln x$, résous sur $]0 \,;\, +\infty[$ l'équation $(\ln x)^{2} - \ln x - 6 = 0$.

Résous l'équation $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 3$ en précisant son domaine.

Soit $g(x) = x^{2} - 2\ln x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$. Étudie les variations de g et donne son minimum.

Le niveau sonore est $L = 10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$, en dB, avec $I_{0} = 10^{-12}$ W/m². Calcule le niveau d'un son d'intensité $I = 3 \times 10^{-6}$ W/m², arrondi au dixième.

Détermine $\lim_{x \to 0^{+}} \left(\ln x - \dfrac{1}{x}\right)$ et $\lim_{x \to +\infty} \left(x^{2} + \ln x\right)$.

Détermine l'équation de la tangente à la courbe de ln au point d'abscisse e. Passe-t-elle par l'origine du repère ?

Pour le carbone 14, $N(t) = N_{0}e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = 1{,}21 \times 10^{-4}$ par an. Un os ne contient plus que 60 % du carbone 14 initial. Estime son âge, arrondi à la centaine d'années.

Calcule le pH d'une solution telle que $[\mathrm{H_{3}O^{+}}] = 4 \times 10^{-3}$ mol/L, arrondi au centième, sachant que $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H_{3}O^{+}}]$.