Le logarithme népérien

Soit $f(x) = \ln x - \dfrac{x}{e}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
Montre que, pour tout $x > 0$, $\ln x \le \dfrac{x}{e}$.

L'iode 131, utilisé en médecine, a une demi-vie de 8,02 jours. Le nombre de noyaux est $N(t) = N_{0}e^{-\lambda t}$, t en jours.
Au bout de combien de jours, arrondi à l'unité, le nombre de noyaux est-il divisé par 1000 ?

Le niveau sonore d'une source d'intensité I est $L = 10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$, en dB, avec $I_{0} = 10^{-12}$ W/m². Des sources identiques jouant ensemble additionnent leurs intensités.
Combien faut-il au minimum de sources identiques de 60 dB, jouant ensemble, pour atteindre au moins 75 dB ?

Soit $h(x) = (\ln x)^{2} - 2\ln x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
Résous l'équation $h(x) = 0$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.

Une ville compte 12 000 habitants et sa population diminue de 2 % par an : au bout de n années, elle compte $P(n) = 12\,000 \times 0{,}98^{n}$ habitants.
Au bout de combien d'années entières la population sera-t-elle passée pour la première fois sous la moitié de sa valeur initiale ?

Le pH d'une solution est $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H_{3}O^{+}}]$, la concentration étant en mol/L. On dispose d'une solution de pH 2,5.
Par quel facteur faut-il diluer la solution pour que son pH passe de 2,5 à 4 ? Arrondis au dixième.

On étudie l'expression $\ln(x + 1) + \ln(x - 1)$.
Résous dans $]1 \,;\, +\infty[$ l'inéquation $\ln(x + 1) + \ln(x - 1) < \ln 8$.

Soit $k(x) = x\ln x - x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
Résous l'équation $k(x) = 0$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ et donne le signe de $k(x)$.

Dans une fibre optique, la puissance lumineuse après L kilomètres est $P(L) = P_{0}e^{-0{,}046L}$. L'atténuation, en dB, est $A = 10\log\left(\frac{P_{0}}{P}\right)$.
Quelle longueur maximale de fibre, arrondie au kilomètre, garantit une puissance reçue d'au moins 1 % de $P_{0}$ ?

Soit $f(x) = x^{2} - 8\ln x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
Dresse le tableau de variations de f sur $[1 \,;\, 4]$, avec les valeurs exactes et les valeurs arrondies au centième.