Le logarithme népérien

Soit $f(x) = \ln x - \dfrac{x}{e}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
b) Dresse le tableau de variations de f et donne son maximum.
c) Montre que, pour tout $x > 0$, $\ln x \le \dfrac{x}{e}$.

L'iode 131, utilisé en médecine, a une demi-vie de 8,02 jours. Le nombre de noyaux est $N(t) = N_{0}e^{-\lambda t}$, t en jours.
a) Calcule λ, arrondi au dix-millième.
b) Quel pourcentage des noyaux reste-t-il au bout de 30 jours ? Arrondis au dixième.
c) Au bout de combien de jours, arrondi à l'unité, le nombre de noyaux est-il divisé par 1000 ?

Le niveau sonore d'une source d'intensité I est $L = 10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$, en dB, avec $I_{0} = 10^{-12}$ W/m². Des sources identiques jouant ensemble additionnent leurs intensités.
a) Calcule, arrondi au dixième, le niveau obtenu avec deux sources de 60 dB.
b) Montre que n sources identiques de niveau L produisent un niveau $L + 10\log n$.
c) Combien faut-il au minimum de sources identiques de 60 dB, jouant ensemble, pour atteindre au moins 75 dB ?

Soit $h(x) = (\ln x)^{2} - 2\ln x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Montre que $h'(x) = \dfrac{2(\ln x - 1)}{x}$.
b) Dresse le tableau de variations de h et donne son minimum.
c) Résous l'équation $h(x) = 0$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.

Une ville compte 12 000 habitants et sa population diminue de 2 % par an : au bout de n années, elle compte $P(n) = 12\,000 \times 0{,}98^{n}$ habitants.
a) Calcule la population au bout de 10 ans, arrondie à l'unité.
b) Au bout de combien d'années entières la population passe-t-elle sous 9000 habitants ?
c) Au bout de combien d'années entières la population sera-t-elle passée pour la première fois sous la moitié de sa valeur initiale ?

Le pH d'une solution est $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H_{3}O^{+}}]$, la concentration étant en mol/L. On dispose d'une solution de pH 2,5.
a) Calcule sa concentration en ions $\mathrm{H_{3}O^{+}}$, arrondie à $10^{-5}$ près.
b) Montre que, si l'on divise la concentration par un nombre $k > 0$, le pH augmente de $\log k$.
c) Par quel facteur faut-il diluer la solution pour que son pH passe de 2,5 à 4 ? Arrondis au dixième.

On étudie l'expression $\ln(x + 1) + \ln(x - 1)$.
a) Détermine l'ensemble des réels x pour lesquels elle est définie.
b) Résous l'équation $\ln(x + 1) + \ln(x - 1) = \ln 8$.
c) Résous dans $]1 \,;\, +\infty[$ l'inéquation $\ln(x + 1) + \ln(x - 1) < \ln 8$.

Soit $k(x) = x\ln x - x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Montre que $k'(x) = \ln x$.
b) Dresse le tableau de variations de k sur $]0 \,;\, +\infty[$, avec son minimum et sa limite en $+\infty$.
c) Résous l'équation $k(x) = 0$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ et donne le signe de $k(x)$.

Dans une fibre optique, la puissance lumineuse après L kilomètres est $P(L) = P_{0}e^{-0{,}046L}$. L'atténuation, en dB, est $A = 10\log\left(\frac{P_{0}}{P}\right)$.
a) Montre que $A = \dfrac{0{,}46L}{\ln 10}$ et donne l'atténuation par kilomètre, arrondie au centième.
b) Calcule l'atténuation sur 50 km, arrondie au dixième.
c) Quelle longueur maximale de fibre, arrondie au kilomètre, garantit une puissance reçue d'au moins 1 % de $P_{0}$ ?

Soit $f(x) = x^{2} - 8\ln x$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule $f'(x)$ et écris-la sous la forme d'un quotient factorisé.
b) Détermine la limite de f en $0^{+}$.
c) Dresse le tableau de variations de f sur $[1 \,;\, 4]$, avec les valeurs exactes et les valeurs arrondies au centième.