La fonction inverse

Soit $f(x) = 2 + \frac{3}{x}$ pour $x \ne 0$.
a) Calcule $f(10)$, $f(100)$ et $f(1\,000)$.
b) Calcule $f(0{,}1)$, $f(0{,}01)$ et $f(-0{,}01)$.
c) De quelle droite horizontale la courbe de f se rapproche-t-elle quand x devient très grand, et quel est le sens de variation de f sur $]0 \,;\, +\infty[$ ?

Soit $g(x) = \frac{5}{x}$.
a) Simplifie le taux de variation $T(h) = \frac{g(2+h) - g(2)}{h}$.
b) Vers quel nombre $T(h)$ se rapproche-t-il quand h se rapproche de 0 ?
c) Donne le nombre dérivé de g en 2.

Un élève affirme : « la fonction inverse est décroissante, et $-1 < 2$, donc $\frac{1}{-1} > \frac{1}{2}$ ».
a) Calcule $\frac{1}{-1}$ et $\frac{1}{2}$.
b) L'affirmation de l'élève est-elle vraie ?
c) Sur quels intervalles la fonction inverse est-elle décroissante ?

Une entreprise estime son bénéfice, en milliers d'euros, par $B(x) = 10 - x - \frac{9}{x}$, où x est la production en tonnes, $x > 0$.
a) Calcule $B'(x)$ et mets-la au même dénominateur.
b) Étudie le signe de $B'(x)$.
c) Quelle production rend le bénéfice maximal, et quel est ce bénéfice ?

Un enclos rectangulaire de 200 m² est adossé à un mur : on ne clôture que trois côtés. On note x la longueur, en mètres, des deux côtés perpendiculaires au mur.
a) Exprime la longueur du côté parallèle au mur en fonction de x.
b) Montre que la longueur de clôture est $L(x) = 2x + \frac{200}{x}$.
c) Quelles dimensions minimisent la longueur de clôture, et quelle est cette longueur minimale ?

On fabrique une boîte sans couvercle à base carrée de côté x cm et de hauteur h cm, de volume 32 cm³.
a) Exprime h en fonction de x.
b) Montre que la surface de carton utilisée est $S(x) = x^{2} + \frac{128}{x}$.
c) Quelles dimensions minimisent la surface de carton, et quelle est cette surface ?

Un camion parcourt 450 km à la vitesse constante v (en km/h), avec $v \in [40 \,;\, 90]$. Le chauffeur coûte 36 € de l'heure, et le carburant $\frac{v^{2}}{100}$ € de l'heure.
a) Exprime la durée du trajet en fonction de v.
b) Montre que le coût du trajet est $C(v) = \frac{16\,200}{v} + 4{,}5v$.
c) À quelle vitesse faut-il rouler pour que le coût du trajet soit minimal, et quel est ce coût ?

Soit $f(x) = x^{2} - 2x + \frac{8}{x}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Calcule $f'(x)$ et mets-la au même dénominateur.
b) Vérifie que $2x^{3} - 2x^{2} - 8 = 2(x - 2)(x^{2} + x + 2)$.
c) Détermine le minimum de f sur $]0 \,;\, +\infty[$.

Une usine produit x tonnes d'un produit, $x \in \,]0 \,;\, 10]$, pour un coût total $C(x) = x^{3} - 6x^{2} + 15x + 32$ milliers d'euros.
a) Exprime le coût moyen $C_{M}(x)$ par tonne.
b) Montre que $C_{M}'(x) = \frac{2(x - 4)(x^{2} + x + 4)}{x^{2}}$.
c) Quelle production minimise le coût moyen, et quel est ce coût moyen minimal ?

Le coût total de production de x objets est $C(x) = 0{,}5x^{2} + 20x + 450$ euros, pour $x \in \,]0 \,;\, 60]$.
a) Exprime le coût moyen $C_{M}(x)$.
b) Détermine la production qui minimise le coût moyen, et ce coût moyen minimal.
c) Calcule le coût marginal $C'(30)$.