La fonction inverse

🟡 Moyen

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1
Soit $f(x) = \frac{5}{x}$ . Calcule $f(0{,}01)$ et $f(0{,}001)$ . Décris le comportement de f quand x se rapproche de 0 par valeurs positives.
Voir le corrigéoffert
$f(0{,}01) = 500$ et $f(0{,}001) = 5\,000$ .
Plus x est proche de 0 (en restant positif), plus on divise par un petit nombre.
Les valeurs de f deviennent aussi grandes qu'on veut : la courbe s'envole le long de l'axe des ordonnées.
2
Soit $f(x) = 2 - \frac{3}{x}$ pour $x \ne 0$ . Calcule $f'(x)$ et déduis-en le sens de variation de f sur chacun des intervalles $]-\infty \,;\, 0[$ et $]0 \,;\, +\infty[$ .
Voir le corrigéoffert
La dérivée de $-\frac{3}{x}$ est $-3 \times \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = \frac{3}{x^{2}}$ , donc $f'(x) = \frac{3}{x^{2}}$ .
Pour $x \ne 0$ , $x^{2} > 0$ , donc $f'(x) > 0$ .
f est croissante sur $]-\infty \,;\, 0[$ et croissante sur $]0 \,;\, +\infty[$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soit $f(x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ pour $x \ne 0$ . Calcule le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.
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4
Soit $f(x) = 3x + \frac{12}{x}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ . Résous l'équation $f'(x) = 0$ .
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5
Un paquet de 120 € de ramettes de papier est partagé : le prix unitaire pour x ramettes est $p(x) = \frac{120}{x}$ . Calcule $p(8)$ , puis donne le sens de variation de p sur $]0 \,;\, +\infty[$ .
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6
Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ et $a = 2$ . Simplifie le taux de variation $T(h) = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ , puis dis vers quel nombre il se rapproche quand h se rapproche de 0.
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7
Soit $f(x) = x + \frac{36}{x}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ . Détermine le minimum de f et la valeur de x pour laquelle il est atteint.
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8
Soit $g(x) = 4x + \frac{1}{x}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ . Détermine le minimum de g.
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9
Le coût total de production de x centaines d'objets est $C(x) = x^{2} + 3x + 49$ (en centaines d'euros). Exprime le coût moyen, puis détermine la production qui le minimise.
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10
Soit $f(x) = x^{2} + \frac{54}{x}$ sur $]0 \,;\, +\infty[$ . Détermine le minimum de f.
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