Les fonctions exponentielles de base a

🟠 Difficile

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1
Un patient reçoit 200 mg d'un médicament, dont la quantité diminue de $15\,\%$ par heure.
a) Exprime la quantité $m(x)$ restante au bout de x heures.
b) Calcule la quantité restante au bout d'une demi-heure, arrondie au dixième de mg.
Voir le corrigéoffert
a) Perdre $15\,\%$ par heure, c'est garder $85\,\%$  : $m(x) = 200 \times 0{,}85^{x}$ .

b) $m(0{,}5) = 200 \times 0{,}85^{0{,}5} \approx 200 \times 0{,}921954$ .
Il reste environ $184{,}4$ mg.
2
a) Écris $A = 5^{2x} \times 5^{1-x}$ sous la forme d'une seule puissance de 5.
b) Écris $B = \frac{(2^{x})^{3}}{2^{2x}}$ sous la forme d'une seule puissance de 2.
Voir le corrigéoffert
a) On additionne les exposants : $2x + (1 - x) = x + 1$ .
$A = 5^{x+1}$ .

b) $(2^{x})^{3} = 2^{3x}$ , puis on soustrait les exposants : $3x - 2x = x$ .
$B = 2^{x}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soit $f(x) = -2 \times 1{,}1^{x}$ et $g(x) = 5 \times 0{,}9^{x}$ .
a) Donne le sens de variation de f et de g.
b) Justifie que $g(x) > 0$ et $f(x) < 0$ pour tout réel x.
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4
Une substance perd $20\,\%$ de sa masse chaque heure.
a) Exprime sa masse $m(x)$ au bout de x heures en fonction de la masse initiale $m_{0}$ .
b) En testant des valeurs entières, encadre entre deux heures consécutives l'instant où il ne reste que la moitié de la masse.
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5
Deux placements sont proposés : le premier rapporte $5\,\%$ par an, le second $2{,}5\,\%$ par semestre.
a) Calcule le coefficient multiplicateur annuel du second placement.
b) Lequel des deux est le plus avantageux ?
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6
Les prix augmentent de $2\,\%$ par an pendant 5 ans.
a) Calcule le coefficient multiplicateur global sur les 5 ans, arrondi au millième.
b) Calcule l'évolution globale en pourcentage, arrondie à $0{,}1\,\%$ .
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7
Le prix d'un article passe de 120 € à 150 € en 4 ans.
a) Calcule le coefficient multiplicateur global.
b) Calcule le taux d'évolution annuel moyen, arrondi à $0{,}01\,\%$ .
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8
Une action connaît trois évolutions trimestrielles : $+8\,\%$ , $-12\,\%$ puis $+15\,\%$ .
a) Calcule le coefficient multiplicateur global, arrondi au dix-millième.
b) Calcule le taux d'évolution trimestriel moyen, arrondi à $0{,}01\,\%$ .
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9
Un compte rapporte $3\,\%$ par an.
a) Calcule le coefficient mensuel équivalent, arrondi à $10^{-6}$ .
b) Donne le taux mensuel équivalent, arrondi à $0{,}001\,\%$ .
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10
Une ville compte $12\,000$ habitants et sa population augmente de $3\,\%$ par an.
a) Exprime la population $P(x)$ au bout de x années, x réel positif.
b) Calcule la population au bout de 2 ans et 3 mois, arrondie à l'unité.
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