Les fonctions exponentielles de base a

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1
Une fonction de la forme $f(x) = k \times a^{x}$ , avec $a > 0$ , vérifie $f(0) = 500$ et $f(2) = 720$ .
Calcule $f(3)$ et $f(-1)$ , en arrondissant au centième.
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a) $f(0) = k \times a^{0} = k$ , donc $k = 500$ .

b) $500 \times a^{2} = 720$ donne $a^{2} = 1{,}44$ , et $a > 0$ , donc $a = 1{,}2$ .

c) $f(3) = 500 \times 1{,}2^{3} = 500 \times 1{,}728 = 864$ .
$f(-1) = \frac{500}{1{,}2} \approx 416{,}67$ .
2
On pose $E = \frac{4^{x} \times 2^{3}}{2^{x}}$ pour tout réel x.
Calcule E pour $x = -1{,}5$ , arrondi au centième.
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a) $4 = 2^{2}$ , donc $4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2x}$ .

b) $E = \frac{2^{2x} \times 2^{3}}{2^{x}} = 2^{2x + 3 - x} = 2^{x+3}$ .

c) Pour $x = -1{,}5$ : $E = 2^{1{,}5} \approx 2{,}83$ .
3
Un placement annonce un taux de $1{,}2\,\%$ par trimestre.
Quel taux trimestriel donnerait exactement $6\,\%$ par an ? Arrondis à $0{,}01\,\%$ .
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4
Un loyer est passé de 700 € en 2018 à 812 € en 2024.
En supposant que le loyer continue d'évoluer au même taux annuel moyen, estime le loyer en 2027, arrondi à l'euro.
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5
Le prix d'une baguette est passé de $0{,}85$ € en 2014 à $1{,}10$ € en 2024.
a) Calcule le coefficient multiplicateur global, arrondi au dix-millième.
b) Calcule le taux d'évolution annuel moyen, arrondi à $0{,}01\,\%$ .
c) Si ce taux annuel moyen se maintenait, quel serait le prix de la baguette en 2030, arrondi au centime ?
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6
Le chiffre d'affaires d'une entreprise a augmenté de $20\,\%$ en trois ans : $+4\,\%$ la première année, puis un même pourcentage les deux années suivantes.
Détermine le pourcentage d'augmentation des deux dernières années, arrondi à $0{,}01\,\%$ .
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7
Un salaire augmente de $2\,\%$ , puis de $3\,\%$ , puis de $7\,\%$ sur trois années.
Calcule le coefficient obtenu en appliquant trois fois une hausse de $4\,\%$ , arrondi à $10^{-6}$ , et dis si la moyenne des trois pourcentages donne la bonne évolution globale.
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8
La masse d'iode 131 radioactif est divisée par 2 tous les 8 jours. Un échantillon pèse 100 g au départ.
Calcule la masse restante au bout de 20 jours, arrondie au centième de gramme.
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9
Le nombre de cas d'une maladie est multiplié par $1{,}8$ chaque semaine ; on en compte $2\,000$ aujourd'hui.
Estime le nombre de cas dans 10 jours, arrondi à l'unité.
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10
Une ville A compte $50\,000$ habitants et gagne $2\,\%$ par an ; une ville B compte $40\,000$ habitants et gagne $4\,\%$ par an.
En testant des valeurs entières, détermine au bout de combien d'années la ville B devient plus peuplée que la ville A.
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