La fonction logarithme décimal

a) Montre que $\log 4 = 2\log 2$ et que $\log(0{,}5) = -\log 2$.
b) Exprime $\log 8 + \log(0{,}25)$ en fonction de $\log 2$.

a) Résous l'équation $3 \times 1{,}2^{x} = 15$, en arrondissant au centième.
b) Résous l'inéquation $3 \times 1{,}2^{x} \ge 15$.

Le pH d'une solution est $\text{pH} = -\log[\text{H}_{3}\text{O}^{+}]$, où la concentration est en mol/L.
a) Calcule le pH d'une solution de concentration $10^{-3}$ mol/L.
b) Une solution a un pH de $4{,}5$. Calcule sa concentration, arrondie à $10^{-7}$ mol/L.

Le niveau sonore d'un son d'intensité I est $L = 10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ décibels, où $I_{0}$ est une intensité de référence.
a) Calcule L pour un son d'intensité $I = 1\,000\,I_{0}$.
b) Un son a un niveau de 75 dB. Combien de fois son intensité est-elle plus grande que $I_{0}$ ? Arrondis au million.

On donne $\log(N) \approx 9{,}42$ pour un entier N.
a) Entre quelles puissances de 10 consécutives se trouve N ? Combien de chiffres compte-t-il ?
b) Donne une valeur approchée de N sous la forme $a \times 10^{9}$, avec a arrondi au centième.

Le prix d'un article a été multiplié par $1{,}5$ en 8 ans, avec le même taux d'évolution chaque année.
a) Écris l'équation vérifiée par le coefficient annuel q.
b) Calcule q, arrondi au dix-millième, puis le taux annuel correspondant.

On donne $\log 5 \approx 0{,}69897$.
a) Calcule $\log(5^{100})$.
b) Combien de chiffres compte l'écriture décimale de $5^{100}$ ?

Un capital est placé à $2{,}5\,\%$ par an, à intérêts composés.
a) Écris l'équation traduisant « le capital a doublé » et résous-la, en arrondissant au centième.
b) Au bout de combien d'années entières le capital a-t-il effectivement doublé ?

Une ville de $60\,000$ habitants perd $1{,}2\,\%$ de sa population chaque année.
a) Écris l'inéquation traduisant « la population est inférieure à $50\,000$ habitants au bout de x années ».
b) Résous-la et donne le nombre d'années entières nécessaires.

Un médicament est éliminé de l'organisme à raison de $25\,\%$ par heure.
a) Écris l'inéquation traduisant « il reste moins de $10\,\%$ de la dose au bout de x heures ».
b) Résous-la, puis donne le nombre d'heures entières nécessaires.