La fonction logarithme décimal

🟠 Difficile

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1
a) Montre que $\log 4 = 2\log 2$ et que $\log(0{,}5) = -\log 2$ .
b) Exprime $\log 8 + \log(0{,}25)$ en fonction de $\log 2$ .
Voir le corrigéoffert
a) $\log 4 = \log(2^{2}) = 2 \log 2$ .
$\log(0{,}5) = \log\left(\frac{1}{2}\right) = \log 1 - \log 2 = -\log 2$ .

b) $\log 8 = 3 \log 2$ et $\log(0{,}25) = \log\left(\frac{1}{4}\right) = -2 \log 2$ .
$\log 8 + \log(0{,}25) = 3 \log 2 - 2 \log 2 = \log 2$ .
2
a) Résous l'équation $3 \times 1{,}2^{x} = 15$ , en arrondissant au centième.
b) Résous l'inéquation $3 \times 1{,}2^{x} \ge 15$ .
Voir le corrigéoffert
a) On isole la puissance : $1{,}2^{x} = 5$ .
$x = \frac{\log 5}{\log 1{,}2} \approx 8{,}83$ .

b) $1{,}2^{x} \ge 5$ équivaut à $x \log(1{,}2) \ge \log 5$ , et $\log(1{,}2) > 0$ .
Les solutions sont les x tels que $x \ge \frac{\log 5}{\log 1{,}2}$ , soit environ $x \ge 8{,}83$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Le pH d'une solution est $\text{pH} = -\log[\text{H}_{3}\text{O}^{+}]$ , où la concentration est en mol/L.
a) Calcule le pH d'une solution de concentration $10^{-3}$ mol/L.
b) Une solution a un pH de $4{,}5$ . Calcule sa concentration, arrondie à $10^{-7}$ mol/L.
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4
Le niveau sonore d'un son d'intensité I est $L = 10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ décibels, où $I_{0}$ est une intensité de référence.
a) Calcule L pour un son d'intensité $I = 1\,000\,I_{0}$ .
b) Un son a un niveau de 75 dB. Combien de fois son intensité est-elle plus grande que $I_{0}$  ? Arrondis au million.
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5
On donne $\log(N) \approx 9{,}42$ pour un entier N.
a) Entre quelles puissances de 10 consécutives se trouve N ? Combien de chiffres compte-t-il ?
b) Donne une valeur approchée de N sous la forme $a \times 10^{9}$ , avec a arrondi au centième.
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6
Le prix d'un article a été multiplié par $1{,}5$ en 8 ans, avec le même taux d'évolution chaque année.
a) Écris l'équation vérifiée par le coefficient annuel q.
b) Calcule q, arrondi au dix-millième, puis le taux annuel correspondant.
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7
On donne $\log 5 \approx 0{,}69897$ .
a) Calcule $\log(5^{100})$ .
b) Combien de chiffres compte l'écriture décimale de $5^{100}$  ?
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8
Un capital est placé à $2{,}5\,\%$ par an, à intérêts composés.
a) Écris l'équation traduisant « le capital a doublé » et résous-la, en arrondissant au centième.
b) Au bout de combien d'années entières le capital a-t-il effectivement doublé ?
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9
Une ville de $60\,000$ habitants perd $1{,}2\,\%$ de sa population chaque année.
a) Écris l'inéquation traduisant « la population est inférieure à $50\,000$ habitants au bout de x années ».
b) Résous-la et donne le nombre d'années entières nécessaires.
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10
Un médicament est éliminé de l'organisme à raison de $25\,\%$ par heure.
a) Écris l'inéquation traduisant « il reste moins de $10\,\%$ de la dose au bout de x heures ».
b) Résous-la, puis donne le nombre d'heures entières nécessaires.
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