La fonction logarithme décimal

Pour $a > 0$ et $b > 0$, on pose $E = \log(a^{2}b) - \log\left(\frac{a}{b^{2}}\right)$.
a) Développe $\log(a^{2}b)$ et $\log\left(\frac{a}{b^{2}}\right)$ à l'aide de $\log a$ et $\log b$.
b) Écris E sous la forme $\log a + k\log b$.
c) Calcule E pour $a = 10$ et $b = 100$, sans calculatrice.

Un investisseur veut que son capital triple en 15 ans, avec le même taux chaque année.
a) Écris l'équation vérifiée par le coefficient annuel q.
b) Calcule q, arrondi au dix-millième.
c) Quel taux annuel doit-il obtenir, arrondi à $0{,}01\,\%$ ?

On donne $\log 2 \approx 0{,}30103$ et $\log 3 \approx 0{,}47712$.
a) Combien de chiffres compte $3^{100}$ ?
b) Combien de chiffres compte $2^{150}$ ?
c) Lequel des deux nombres $3^{100}$ et $2^{150}$ est le plus grand ? Justifie.

On considère la suite $u_{n} = 1\,500 \times 0{,}92^{n}$.
a) Écris l'inéquation traduisant $u_{n} < 100$.
b) Résous-la à l'aide du logarithme décimal, en arrondissant la borne au centième.
c) Détermine le plus petit entier n tel que $u_{n} < 100$.

Un isotope radioactif perd $2\,\%$ de sa masse chaque année.
a) Exprime la masse $m(x)$ au bout de x années en fonction de la masse initiale $m_{0}$.
b) Calcule sa demi-vie, arrondie au dixième d'année.
c) Au bout de combien d'années entières reste-t-il moins de $5\,\%$ de la masse initiale ?

La magnitude d'un séisme est $M = \log A - \log A_{0}$, où A est l'amplitude mesurée et $A_{0}$ une amplitude de référence.
a) Écris M sous la forme d'un seul logarithme.
b) Exprime A en fonction de $A_{0}$ et de M.
c) Un séisme de magnitude $6{,}2$ est comparé à un séisme de magnitude $4{,}7$. Combien de fois l'amplitude du premier est-elle plus grande que celle du second ? Arrondis à l'unité.

Dans un repère où l'on porte x en abscisse et $\log y$ en ordonnée, les points d'une série sont alignés sur la droite d'équation $\log y = 0{,}3x + 2$.
a) Que vaut y pour $x = 0$ ?
b) Montre que $y = 100 \times \left(10^{0{,}3}\right)^{x}$.
c) Pour quelles valeurs de x a-t-on $y > 10\,000$ ? Arrondis la borne au centième.

On veut connaître la taille du nombre $2^{2026}$, avec $\log 2 \approx 0{,}30103$.
a) Calcule $\log(2^{2026})$, arrondi au centième.
b) Entre quelles puissances de 10 consécutives se trouve $2^{2026}$ ?
c) Combien de chiffres compte l'écriture décimale de $2^{2026}$ ?

Un placement A de $6\,000$ € rapporte $1{,}5\,\%$ par an ; un placement B de $4\,500$ € rapporte $3{,}5\,\%$ par an, tous deux à intérêts composés.
a) Exprime $A(x)$ et $B(x)$, les valeurs au bout de x années.
b) Montre que $B(x) > A(x)$ équivaut à $\left(\frac{1{,}035}{1{,}015}\right)^{x} > \frac{4}{3}$.
c) Au bout de combien d'années entières le placement B vaut-il plus que le placement A ?

Une personne verse 100 € au début de chaque mois sur un compte rémunéré à $0{,}2\,\%$ par mois. Au bout de n mois, la valeur acquise vaut $V_{n} = 100{,}2 \times \frac{1{,}002^{n} - 1}{0{,}002}$ euros.
a) Montre que $V_{n} \ge 5\,000$ équivaut à $1{,}002^{n} \ge 1 + \frac{10}{100{,}2}$.
b) Résous cette inéquation, en arrondissant la borne au centième.
c) Combien de mois de versements faut-il pour atteindre $5\,000$ € ?