Espérance et loi binomiale

🟠 Difficile

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1
Une archère touche le centre de la cible avec une probabilité de 0,6 à chaque flèche, indépendamment des autres. Elle tire 5 flèches, et X compte les flèches au centre.
a) Justifie que X suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
b) Calcule $P(X = 3)$ (on donne $\binom{5}{3} = 10$ ).
c) Calcule $E(X)$ .
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a) Chaque tir a deux issues (centre ou non), la probabilité du centre vaut 0,6 à chaque tir, les tirs sont indépendants et X compte les succès sur 5 tirs : X suit $\mathcal{B}(5 \,;\, 0{,}6)$ .
b) $P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0{,}6^{3} \times 0{,}4^{2} = 10 \times 0{,}216 \times 0{,}16$ .
$P(X = 3) = 0{,}3456$ .
c) $E(X) = 5 \times 0{,}6 = 3$ .
2
Un magasin reçoit une boîte de 8 ampoules prises au hasard dans une très grande production, où $5\,\%$ des ampoules sont défectueuses. On note X le nombre d'ampoules défectueuses de la boîte, qui suit la loi $\mathcal{B}(8 \,;\, 0{,}05)$ .
a) Calcule $P(X = 0)$ , arrondie au millième.
b) Calcule $P(X = 1)$ , arrondie au millième.
c) Calcule la probabilité que la boîte contienne au plus une ampoule défectueuse, arrondie au millième.
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a) $P(X = 0) = 0{,}95^{8} = 0{,}66342\ldots$ , donc $P(X = 0) \approx 0{,}663$ .
b) $\binom{8}{1} = 8$ , donc $P(X = 1) = 8 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{7} = 0{,}27933\ldots$ , soit $P(X = 1) \approx 0{,}279$ .
c) « Au plus une » signifie $X = 0$ ou $X = 1$ . Avec les valeurs non arrondies : $P(X \le 1) = 0{,}66342 + 0{,}27933 = 0{,}94275\ldots$
$P(X \le 1) \approx 0{,}943$ .
3
Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 10 et 50. On sait que $P(X = 0) = 0{,}7$ et que $E(X) = 7$ . On note $a = P(X = 10)$ .
a) Exprime $P(X = 50)$ en fonction de a.
b) Détermine a, puis donne la loi de X.
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4
La variable aléatoire X suit la loi $\mathcal{B}(4 \,;\, 0{,}5)$ . On donne la ligne $n = 4$ du triangle de Pascal : 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1.
a) Donne la loi de X sous forme de fractions.
b) Calcule $P(X \ge 2)$ .
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5
Un traitement est efficace chez $90\,\%$ des patients. On le donne à 6 patients choisis au hasard, et X compte les patients chez qui il est efficace.
a) Calcule $P(X = 6)$ , arrondie au millième.
b) Calcule $P(X = 5)$ , arrondie au millième.
c) Calcule la probabilité que le traitement soit efficace chez au plus 4 patients, arrondie au millième.
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6
On donne la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal : 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 1.
a) Construis la ligne $n = 7$ .
b) On lance 7 fois une pièce équilibrée : calcule la probabilité d'obtenir exactement 3 piles, arrondie au millième.
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7
On propose deux jeux. Jeu A : on gagne 8 € avec une probabilité de 0,25 et on perd 2 € sinon. Jeu B : on gagne 20 € avec une probabilité de 0,1 et on perd 1 € sinon.
a) Calcule l'espérance du gain pour chaque jeu.
b) Sur un grand nombre de parties, quel jeu est le plus avantageux ? Justifie.
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8
Dans une grande ville, $25\,\%$ des habitants utilisent les transports en commun chaque jour. On interroge 8 habitants au hasard, et X compte ceux qui les utilisent. On donne la ligne $n = 8$ du triangle de Pascal : 1 ; 8 ; 28 ; 56 ; 70 ; 56 ; 28 ; 8 ; 1.
a) Donne la loi de X.
b) Calcule $P(X = 2)$ , arrondie au millième.
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9
La variable aléatoire X suit la loi $\mathcal{B}(2 \,;\, p)$ et l'on sait que $P(X = 0) = 0{,}49$ .
a) Détermine p.
b) Calcule $P(X = 2)$ et $E(X)$ .
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10
On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve de probabilité de succès p. On sait que la probabilité d'obtenir au moins un succès vaut 0,784.
a) Calcule la probabilité de n'obtenir aucun succès.
b) Détermine p.
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