Espérance et loi binomiale

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1
Dans un centre d'appels, chaque appel passé aboutit à une vente avec une probabilité de 0,2, indépendamment des autres. Un conseiller passe 10 appels. On donne $\binom{10}{2} = 45$ .
Calcule la probabilité qu'il fasse exactement 2 ventes, arrondie au millième.
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a) 10 appels indépendants, deux issues (vente ou non), même probabilité 0,2 : X suit $\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}2)$ .
b) $E(X) = 10 \times 0{,}2 = 2$ ventes en moyenne.
c) $P(X = 0) = 0{,}8^{10} = 0{,}10737\ldots \approx 0{,}107$ .
d) $P(X = 2) = 45 \times 0{,}2^{2} \times 0{,}8^{8} = 45 \times 0{,}04 \times 0{,}16777\ldots = 0{,}30199\ldots$
$P(X = 2) \approx 0{,}302$ .
2
Pour jouer, on paie 3 €, puis on lance trois dés équilibrés. On reçoit 5 € par six obtenu. On note X le nombre de six et G le gain net du joueur.
Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifie.
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a) X suit $\mathcal{B}(3 \,;\, \frac{1}{6})$ . Nombres de chemins : 1 ; 3 ; 3 ; 1.
$P(X = 0) = \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{125}{216}$ ; $P(X = 1) = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216}$ ; $P(X = 2) = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}$ ; $P(X = 3) = \frac{1}{216}$ .
b) $G = 5X - 3$ : G vaut $-3$ , 2, 7 ou 12.
c) $E(G) = \frac{-3 \times 125 + 2 \times 75 + 7 \times 15 + 12 \times 1}{216} = \frac{-375 + 150 + 105 + 12}{216} = \frac{-108}{216} = -0{,}5$ .
d) $E(G) = -0{,}5 < 0$ : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 0,50 € par partie. Le jeu lui est défavorable.
3
On considère un arbre de 10 épreuves. On donne la ligne $n = 9$ du triangle de Pascal : 1 ; 9 ; 36 ; 84 ; 126 ; 126 ; 84 ; 36 ; 9 ; 1.
Calcule le nombre de chemins comportant exactement 7 succès dans l'arbre de 10 épreuves.
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4
Une machine produit $10\,\%$ de pièces défectueuses. On prélève 5 pièces dans une très grande production. Le lot est refusé s'il contient au moins 2 pièces défectueuses.
Combien de pièces défectueuses trouve-t-on en moyenne dans un prélèvement de 5 pièces ?
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5
Un joueur de fléchettes atteint la zone visée avec une probabilité de 0,4 à chaque lancer, indépendamment. Il lance n fléchettes.
Combien de fléchettes doit-il lancer au minimum pour atteindre la zone au moins une fois avec une probabilité supérieure à 0,95 ?
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6
Sur un site marchand, chaque visiteur clique sur une publicité avec la même probabilité p, indépendamment des autres. Sur 250 visiteurs, on compte en moyenne 15 clics.
Pour 8 visiteurs, quelle est la probabilité qu'au moins un visiteur clique ? Arrondis au millième.
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7
Un test comporte 4 questions à 4 propositions dont une seule est juste. Un candidat qui n'a rien révisé hésite entre deux stratégies : répondre complètement au hasard, ou éliminer d'abord une proposition fausse à chaque question puis choisir au hasard parmi les 3 restantes. On s'intéresse à la probabilité d'avoir au moins 3 bonnes réponses.
Pour la seconde stratégie, calcule cette probabilité, arrondie au millième.
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8
Un livreur doit remettre 6 colis dans la journée. Chaque colis arrive en retard avec une probabilité de 0,15, indépendamment des autres, et X compte les colis en retard.
Calcule la probabilité qu'au moins deux colis soient en retard, arrondie au millième.
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9
Un sac contient 5 jetons, dont 2 gagnants. On tire 3 jetons l'un après l'autre et X compte les jetons gagnants obtenus. On compare un tirage sans remise et un tirage avec remise.
Avec remise, calcule $P(X = 0)$ .
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10
On lance 8 fois une pièce équilibrée, et X compte les piles. On donne la ligne $n = 8$ du triangle de Pascal : 1 ; 8 ; 28 ; 56 ; 70 ; 56 ; 28 ; 8 ; 1.
Calcule la probabilité d'obtenir plus de piles que de faces, arrondie au millième.
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