Espérance et loi binomiale

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1
Dans un centre d'appels, chaque appel passé aboutit à une vente avec une probabilité de 0,2, indépendamment des autres. Un conseiller passe 10 appels. On donne $\binom{10}{2} = 45$ .
a) Quelle loi suit le nombre X de ventes ?
b) Combien de ventes le conseiller peut-il espérer en moyenne ?
c) Calcule la probabilité qu'il ne fasse aucune vente, arrondie au millième.
d) Calcule la probabilité qu'il fasse exactement 2 ventes, arrondie au millième.
Voir le corrigéoffert
a) 10 appels indépendants, deux issues (vente ou non), même probabilité 0,2 : X suit $\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}2)$ .
b) $E(X) = 10 \times 0{,}2 = 2$ ventes en moyenne.
c) $P(X = 0) = 0{,}8^{10} = 0{,}10737\ldots \approx 0{,}107$ .
d) $P(X = 2) = 45 \times 0{,}2^{2} \times 0{,}8^{8} = 45 \times 0{,}04 \times 0{,}16777\ldots = 0{,}30199\ldots$
$P(X = 2) \approx 0{,}302$ .
2
Pour jouer, on paie 3 €, puis on lance trois dés équilibrés. On reçoit 5 € par six obtenu. On note X le nombre de six et G le gain net du joueur.
a) Donne la loi de X sous forme de fractions de dénominateur 216.
b) Donne les valeurs de G associées à chaque valeur de X.
c) Calcule l'espérance de G.
d) Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifie.
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a) X suit $\mathcal{B}(3 \,;\, \frac{1}{6})$ . Nombres de chemins : 1 ; 3 ; 3 ; 1.
$P(X = 0) = \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = \frac{125}{216}$  ; $P(X = 1) = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216}$  ; $P(X = 2) = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}$  ; $P(X = 3) = \frac{1}{216}$ .
b) $G = 5X - 3$  : G vaut $-3$ , 2, 7 ou 12.
c) $E(G) = \frac{-3 \times 125 + 2 \times 75 + 7 \times 15 + 12 \times 1}{216} = \frac{-375 + 150 + 105 + 12}{216} = \frac{-108}{216} = -0{,}5$ .
d) $E(G) = -0{,}5 < 0$  : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 0,50 € par partie. Le jeu lui est défavorable.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
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3
On considère un arbre de 10 épreuves. On donne la ligne $n = 9$ du triangle de Pascal : 1 ; 9 ; 36 ; 84 ; 126 ; 126 ; 84 ; 36 ; 9 ; 1.
a) Combien de chemins comportent exactement 9 succès ?
b) Explique pourquoi il y a autant de chemins à 7 succès que de chemins à 3 succès.
c) Calcule le nombre de chemins comportant exactement 7 succès dans l'arbre de 10 épreuves.
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4
Une machine produit $10\,\%$ de pièces défectueuses. On prélève 5 pièces dans une très grande production. Le lot est refusé s'il contient au moins 2 pièces défectueuses.
a) Justifie que le nombre X de pièces défectueuses suit une loi binomiale, et donne ses paramètres.
b) Calcule $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$ .
c) Calcule la probabilité que le lot soit refusé, arrondie au millième.
d) Combien de pièces défectueuses trouve-t-on en moyenne dans un prélèvement de 5 pièces ?
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5
Un joueur de fléchettes atteint la zone visée avec une probabilité de 0,4 à chaque lancer, indépendamment. Il lance n fléchettes.
a) Exprime en fonction de n la probabilité qu'il n'atteigne jamais la zone.
b) Exprime en fonction de n la probabilité qu'il l'atteigne au moins une fois.
c) Combien de fléchettes doit-il lancer au minimum pour atteindre la zone au moins une fois avec une probabilité supérieure à 0,95 ?
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6
Sur un site marchand, chaque visiteur clique sur une publicité avec la même probabilité p, indépendamment des autres. Sur 250 visiteurs, on compte en moyenne 15 clics.
a) Détermine p.
b) Pour 8 visiteurs, calcule la probabilité qu'aucun ne clique, arrondie au millième.
c) Pour 8 visiteurs, quelle est la probabilité qu'au moins un visiteur clique ? Arrondis au millième.
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7
Un test comporte 4 questions à 4 propositions dont une seule est juste. Un candidat qui n'a rien révisé hésite entre deux stratégies : répondre complètement au hasard, ou éliminer d'abord une proposition fausse à chaque question puis choisir au hasard parmi les 3 restantes. On s'intéresse à la probabilité d'avoir au moins 3 bonnes réponses.
a) Pour la première stratégie, calcule cette probabilité, arrondie au millième.
b) Pour la seconde stratégie, calcule cette probabilité, arrondie au millième.
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8
Un livreur doit remettre 6 colis dans la journée. Chaque colis arrive en retard avec une probabilité de 0,15, indépendamment des autres, et X compte les colis en retard.
a) Calcule le nombre moyen de colis en retard.
b) Calcule la probabilité qu'aucun colis ne soit en retard, arrondie au millième.
c) Calcule la probabilité qu'un seul colis soit en retard, arrondie au millième.
d) Calcule la probabilité qu'au moins deux colis soient en retard, arrondie au millième.
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9
Un sac contient 5 jetons, dont 2 gagnants. On tire 3 jetons l'un après l'autre et X compte les jetons gagnants obtenus. On compare un tirage sans remise et un tirage avec remise.
a) Sans remise, la loi de X est-elle binomiale ? Justifie.
b) Sans remise, calcule $P(X = 0)$ à l'aide d'un arbre.
c) Avec remise, calcule $P(X = 0)$ .
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10
On lance 8 fois une pièce équilibrée, et X compte les piles. On donne la ligne $n = 8$ du triangle de Pascal : 1 ; 8 ; 28 ; 56 ; 70 ; 56 ; 28 ; 8 ; 1.
a) Calcule la probabilité d'obtenir exactement 4 piles, arrondie au millième.
b) Calcule la probabilité d'obtenir un nombre de piles différent de 4, arrondie au millième.
c) Calcule la probabilité d'obtenir plus de piles que de faces, arrondie au millième.
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