Espérance et loi binomiale

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1
La variable aléatoire X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4 \,;\, 0{,}3)$ . Calcule $P(X = 1)$ .
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Il y a $\binom{4}{1} = 4$ chemins à exactement 1 succès (le succès peut être placé à 4 endroits).
Chacun a pour probabilité $0{,}3 \times 0{,}7^{3} = 0{,}3 \times 0{,}343 = 0{,}1029$ .
$P(X = 1) = 4 \times 0{,}1029 = 0{,}4116$ .
2
La ligne $n = 6$ du triangle de Pascal est : 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 1. La variable aléatoire X suit la loi $\mathcal{B}(6 \,;\, 0{,}5)$ . Calcule $P(X = 2)$ sous forme de fraction, puis de nombre décimal.
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On lit $\binom{6}{2} = 15$ : il y a 15 chemins à exactement 2 succès.
Chaque chemin a pour probabilité $0{,}5^{2} \times 0{,}5^{4} = 0{,}5^{6} = \frac{1}{64}$ .
$P(X = 2) = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$ .
$P(X = 2) = \frac{15}{64} = 0{,}234375$ .
3
On donne la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal : 1 ; 6 ; 15 ; 20 ; 15 ; 6 ; 1. Calcule la somme des nombres de cette ligne. Que représente cette somme pour un arbre de 6 épreuves ?
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4
Pour jouer, on paie 2 €. On reçoit alors 5 € avec une probabilité de 0,3, 1 € avec une probabilité de 0,2, et rien sinon. On note G le gain net (ce qu'on reçoit moins la mise). Calcule $E(G)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?
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5
La variable aléatoire X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5 \,;\, 0{,}8)$ . Calcule $P(X = 5)$ et $P(X = 4)$ .
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6
Un questionnaire comporte 10 questions ; chacune propose 3 réponses dont une seule est juste. Un candidat répond à tout au hasard, et X est le nombre de bonnes réponses. Calcule $E(X)$ arrondie au centième, puis $P(X = 0)$ arrondie au millième.
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7
Dans une classe de 30 élèves, dont 12 filles, on choisit au hasard 4 élèves différents pour former une équipe, et X compte les filles de l'équipe. Un élève affirme que X suit la loi $\mathcal{B}(4 \,;\, 0{,}4)$ . A-t-il raison ? Justifie.
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8
Une épreuve réussit avec une probabilité de 0,04. On la répète n fois de façon indépendante, et X compte les succès. Détermine n pour que l'on obtienne en moyenne 6 succès.
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9
On lance 10 fois une pièce équilibrée, et X compte les piles. Calcule $P(X \ge 9)$ , arrondie au millième.
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10
On sait que $\binom{7}{2} = 21$ et $\binom{7}{3} = 35$ . À l'aide de la formule de Pascal, calcule $\binom{8}{3}$ .
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