Espérance et loi binomiale

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1
Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 3 et 6 avec les probabilités respectives 0,5 ; 0,3 et 0,2. Calcule l'espérance $E(X)$ .
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On vérifie d'abord que les probabilités ont pour somme 1 : $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$ .
L'espérance est la somme des valeurs multipliées par leurs probabilités : $E(X) = 1 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3 + 6 \times 0{,}2$ .
$E(X) = 0{,}5 + 0{,}9 + 1{,}2 = 2{,}6$ .
2
Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli à 3 épreuves, écris tous les chemins qui comportent exactement 2 succès (S) et 1 échec (E). Déduis-en la valeur de $\binom{3}{2}$ .
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L'échec unique peut être placé en 1ʳᵉ, en 2ᵉ ou en 3ᵉ position.
Les chemins sont : ESS, SES et SSE.
Il y en a 3.
Donc $\binom{3}{2} = 3$ .
3
La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est : 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1. Écris la ligne $n = 5$ .
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4
La variable aléatoire X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(30 \,;\, 0{,}2)$ . Calcule $E(X)$ .
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5
La variable aléatoire X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3 \,;\, 0{,}5)$ . Calcule $P(X = 3)$ .
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6
La variable aléatoire X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4 \,;\, 0{,}1)$ . Calcule $P(X = 0)$ .
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7
On lance 15 fois une pièce truquée qui tombe sur pile avec une probabilité de 0,6, les lancers étant indépendants. On note X le nombre de piles obtenus. Quelle loi suit X ? Précise ses paramètres.
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8
Donne sans calcul les coefficients binomiaux $\binom{8}{0}$ , $\binom{8}{1}$ et $\binom{8}{8}$ .
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9
La variable aléatoire X suit la loi binomiale $\mathcal{B}(5 \,;\, 0{,}3)$ . Calcule $P(X \ge 1)$ , arrondie au millième.
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10
À un jeu, on gagne 10 € avec une probabilité de 0,2 et on perd 2 € sinon. On note G le gain algébrique. Calcule $E(G)$ et interprète le résultat.
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